O controle de qualidade em uma fábrica retirou 40 peças com defeitos de pintura, na embalagem ou na parte eletrônica na linha de montagem. Dessas peças, 28 tinham defeito de pintura, 17 tinham defeito na embalagem, 13 tinham defeitos na parte eletrônica, 6 tinham defeitos tanto na pintura quanto na embalagem, 7 tinham defeito na embalagem e na parte eletrônica e 10 tinham defeitos na pintura e na parte eletrônica. Alguma peça tinha os três tipos de defeito?

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de 40 peças com defeitos de pintura, de embalagem ou de parte eletrônica e fornece as seguintes informações sobre os conjuntos: quantas peças têm cada tipo de defeito e quantas têm dois tipos distintos de defeito. A questão pede para saber se existe alguma peça que tenha os três defeitos simultaneamente. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para conjuntos.

Passo 2

Definimos os conjuntos:
P = peças com defeito de pintura,
E = peças com defeito de embalagem,
L = peças com defeito na parte eletrônica.
As cardinalidades dadas são:
|P| = 28, |E| = 17, |L| = 13,
e as interseções de dois conjuntos são:
|P cap E| = 6, |E cap L| = 7, |P cap L| = 10
Chamamos de x a quantidade de peças que têm os três defeitos, isto é, |P cap E cap L| = x.

Passo 3

Pelo princípio da inclusão-exclusão, a união de todos os defeitos satisfaz:
|P cup E cup L| = |P| + |E| + |L| - |P cap E| - |E cap L| - |P cap L| + |P cap E cap L|
Como toda peça defeituosa está em pelo menos um desses conjuntos, temos |P cup E cup L| = 40.

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
40 = 28 + 17 + 13 - 6 - 7 - 10 + x
Calculando o lado direito sem x:
28 + 17 + 13 = 58, 6 + 7 + 10 = 23, 58 - 23 = 35,
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40 = 35 + x Longrightarrow x = 5

Resposta

Sim. Houveram 5 peças que apresentaram os três tipos de defeito ao mesmo tempo.

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