Questão 13.

Se P(X in A)=0,30, P(X in B)=0,25, P(X in C)=0,60, P(X in A cup B)=0,55 e P(X in B cup C)=0,70, determine as seguintes probabilidades.
(a) P(X in barA)
(b) P(X in barB)
(c) Os conjuntos A e B são mutuamente excludentes?
(d) Os conjuntos B e C são mutuamente excludentes?

Passo 1

O enunciado nos dá as probabilidades
,P(A)=0,30, P(B)=0,25, P(C)=0,60, P(Acup B)=0,55 e P(Bcup C)=0,70,
e pede:
(a) P(bar A)
(b) P(bar B)
(c) verificar se A e B são mutuamente excludentes
(d) verificar se B e C são mutuamente excludentes

Passo 2

Para qualquer evento E, vale a relação de complemento
P(bar E) = 1 - P(E)
Assim,
P(bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,30 = 0,70

Passo 3

Usando a mesma fórmula para B,
P(bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,25 = 0,75

Passo 4

Do princípio da inclusão-exclusão temos
P(Acup B) = P(A) + P(B) - P(Acap B)
Logo,
P(Acap B) = P(A) + P(B) - P(Acup B) = 0,30 + 0,25 - 0,55 = 0
Como P(Acap B)=0, os eventos A e B são mutuamente excludentes.

Passo 5

De modo análogo para B e C,
P(Bcap C) = P(B) + P(C) - P(Bcup C) = 0,25 + 0,60 - 0,70 = 0,15
Como P(Bcap C)neq 0, os eventos B e C não são mutuamente excludentes.

Resposta

(a) P(bar A)=0,70
(b) P(bar B)=0,75
(c) Sim, A e B são mutuamente excludentes.
(d) Não, B e C não são mutuamente excludentes.

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