(a) Estimar as coordenadas criticas de um gás que tem as constantes de van der Waals seguintes:
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente estimar as coordenadas críticas (Vc, Pc e Tc) de um gás van der Waals que tem
a = 0{,}751\;\mathrm{atm}\,\mathrm{L}^2\!\slash\!\mathrm{mol}^2
\quad\text{e}\quad
b = 0{,}0226\;\mathrm{L}\!\slash\!\mathrm{mol}.
O conteúdo de matéria é “equação de estado de van der Waals” e “condições de ponto crítico” (onde a primeira e a segunda derivada de
em relação ao volume molar
valem zero). Vamos precisar da constante universal dos gases perfeitos
R = 0{,}08206\;\mathrm{L}\,\mathrm{atm}\!\slash\!(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}).
Passo 2
Escrevendo a equação de van der Waals no lugar de
:
P = \frac{RT}{V_m - b} \;-\;\frac{a}{V_m^2}.
No ponto crítico temos
-
-
Calculando essas derivadas dá, após simplificar, as relações:
RT = \frac{2a\,(V_m - b)^2}{V_m^3}
\quad\text{e}\quad
RT = \frac{3a\,(V_m - b)^3}{V_m^4}.
Passo 3
Para achar
, igualamos as duas expressões de
:
\frac{2a\,(V_m - b)^2}{V_m^3}
=
\frac{3a\,(V_m - b)^3}{V_m^4}
\;\longrightarrow\;
2\,V_m = 3\,(V_m - b)
\;\longrightarrow\;
V_c = 3\,b.
Passo 4
Agora, usando
numa das fórmulas de
, por exemplo
RT_c = \frac{2a\,(V_c - b)^2}{V_c^3}
= \frac{2a\,(2b)^2}{(3b)^3}
= \frac{8a}{27\,b},
a gente isola
:
T_c = \frac{8a}{27\,R\,b}.
Passo 5
Para
, basta substituir
e
na equação de van der Waals ou usar a fórmula já conhecida
P_c = \frac{a}{27\,b^2}.
Resposta
V_c = 3b = 3\times0{,}0226 = 0{,}0678\;\mathrm{L/mol},\\
P_c = \frac{a}{27\,b^2} = \frac{0{,}751}{27\times(0{,}0226)^2}\approx54{,}4\;\mathrm{atm},\\
T_c = \frac{8a}{27\,R\,b} = \frac{8\times0{,}751}{27\times0{,}08206\times0{,}0226}\approx120\;\mathrm{K}.