(a) Estimar as coordenadas criticas de um gás que tem as constantes de van der Waals seguintes: a=0,751 atm L^2 mol^-1 e b=0,0226 L mol^-1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente estimar as coordenadas críticas (Vc, Pc e Tc) de um gás van der Waals que tem
a = 0{,}751\;\mathrm{atm}\,\mathrm{L}^2\!\slash\!\mathrm{mol}^2
\quad\text{e}\quad
b = 0{,}0226\;\mathrm{L}\!\slash\!\mathrm{mol}.
O conteúdo de matéria é “equação de estado de van der Waals” e “condições de ponto crítico” (onde a primeira e a segunda derivada de em relação ao volume molar valem zero). Vamos precisar da constante universal dos gases perfeitos
R = 0{,}08206\;\mathrm{L}\,\mathrm{atm}\!\slash\!(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}).

Passo 2

Escrevendo a equação de van der Waals no lugar de :
P = \frac{RT}{V_m - b} \;-\;\frac{a}{V_m^2}.
No ponto crítico temos

  1. Calculando essas derivadas dá, após simplificar, as relações:
RT = \frac{2a\,(V_m - b)^2}{V_m^3}
\quad\text{e}\quad
RT = \frac{3a\,(V_m - b)^3}{V_m^4}.

Passo 3

Para achar , igualamos as duas expressões de :
\frac{2a\,(V_m - b)^2}{V_m^3}
=
\frac{3a\,(V_m - b)^3}{V_m^4}
\;\longrightarrow\;
2\,V_m = 3\,(V_m - b)
\;\longrightarrow\;
V_c = 3\,b.

Passo 4

Agora, usando numa das fórmulas de , por exemplo
RT_c = \frac{2a\,(V_c - b)^2}{V_c^3}
       = \frac{2a\,(2b)^2}{(3b)^3}
       = \frac{8a}{27\,b},
a gente isola :
T_c = \frac{8a}{27\,R\,b}.

Passo 5

Para , basta substituir e na equação de van der Waals ou usar a fórmula já conhecida
P_c = \frac{a}{27\,b^2}.

Resposta

V_c = 3b = 3\times0{,}0226 = 0{,}0678\;\mathrm{L/mol},\\
P_c = \frac{a}{27\,b^2} = \frac{0{,}751}{27\times(0{,}0226)^2}\approx54{,}4\;\mathrm{atm},\\
T_c = \frac{8a}{27\,R\,b} = \frac{8\times0{,}751}{27\times0{,}08206\times0{,}0226}\approx120\;\mathrm{K}.

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