Converge absolutamente, converge condicionalmente, diverge?
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como uma das três opções: converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Informações dadas: a lei geral dos termos é .
O que precisamos verificar (passo a passo): (i) se a série dos valores absolutos converge (isso decide convergência absoluta); (ii) se a série original converge mesmo que a absoluta divergue (convergência condicional); (iii) se nenhuma das anteriores vale, então diverge.
Informações dadas: a lei geral dos termos é
O que precisamos verificar (passo a passo): (i) se a série dos valores absolutos
Passo 2
Vamos estudar a série dos valores absolutos. Definimos
Se
converge, a série original seria absolutamente convergente. Se
diverge, precisamos verificar se ainda assim a série original converge condicionalmente.
Passo 3
Estudamos o comportamento de
usando o quociente
. Calculemos:
Simplificando
, obtemos
Passo 4
Agora tomamos limite quando
. Note que
É conhecido (e fácil de ver definindo
) que
Portanto
Como
, o quociente tende a um número maior que
.
Passo 5
Se
com
, isso significa que, para
grande,
é aproximadamente
vezes
com
; assim
cresce geometricamente e tende a
. Em particular,
não tende a zero. Logo a série dos valores absolutos
não pode convergir (uma série convergente tem termos que vão a zero). Concluímos que a série não é absolutamente convergente.
Passo 6
Para a convergência (mesmo condicional) da série original é necessário que
quando
. Mas
(como vimos), portanto
não tende a zero. Pelo teste da divergência (ou teste necessário), se os termos não tendem a zero, a série diverge. Assim a série original diverge.
Resposta
Diverge.