Converge absolutamente, converge condicionalmente, diverge?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n} n!}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n} n!}{n^{n}}
como uma das três opções: converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Informações dadas: a lei geral dos termos é a_n = \dfrac{(-3)^{n} n!}{n^{n}}.
O que precisamos verificar (passo a passo): (i) se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge (isso decide convergência absoluta); (ii) se a série original converge mesmo que a absoluta divergue (convergência condicional); (iii) se nenhuma das anteriores vale, então diverge.

Passo 2

Vamos estudar a série dos valores absolutos. Definimos
b_n = |a_n| = \frac{3^{n} n!}{n^{n}}.
Se \sum b_n converge, a série original seria absolutamente convergente. Se \sum b_n diverge, precisamos verificar se ainda assim a série original converge condicionalmente.

Passo 3

Estudamos o comportamento de b_n usando o quociente b_{n+1}/b_n. Calculemos:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{\,n+1}(n+1)!/(n+1)^{\,n+1}}{3^{\,n}n!/n^{n}} = 3\cdot\frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}.
Simplificando (n+1)!/n! = n+1, obtemos
\frac{b_{n+1}}{b_n} = 3\,(n+1)\,\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} = 3\cdot\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = 3\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 4

Agora tomamos limite quando n\to\infty. Note que
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
É conhecido (e fácil de ver definindo m=n+1) que
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} = e^{-1}.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = 3\cdot e^{-1} = \frac{3}{e}.
Como \dfrac{3}{e}\approx 1{,}103>1, o quociente tende a um número maior que 1.

Passo 5

Se \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to L com L>1, isso significa que, para n grande, b_{n+1} é aproximadamente L vezes b_n com L>1; assim b_n cresce geometricamente e tende a +\infty. Em particular, b_n não tende a zero. Logo a série dos valores absolutos \sum b_n não pode convergir (uma série convergente tem termos que vão a zero). Concluímos que a série não é absolutamente convergente.

Passo 6

Para a convergência (mesmo condicional) da série original é necessário que a_n \to 0 quando n\to\infty. Mas |a_n|=b_n\to+\infty (como vimos), portanto a_n não tende a zero. Pelo teste da divergência (ou teste necessário), se os termos não tendem a zero, a série diverge. Assim a série original diverge.

Resposta

Diverge.

Exercícios relacionados