Determine O RAIO de convergência e O INTERVALO de convergência.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-4)^{n}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-4)^{n}}{4^{n}} e pede: (1) o raio de convergência e (2) o intervalo de convergência. Informações fornecidas: a série está centrada em x=4 e o termo geral é \frac{(x-4)^{n}}{4^{n}}.

Passo 2

Reescrevemos a série numa forma de série geométrica para identificar a razão. Factorizando,
\frac{(x-4)^{n}}{4^{n}}=\left(\frac{x-4}{4}\right)^{n}.
Logo a série é
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x-4}{4}\right)^{n}.
Uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} converge exatamente quando |r|<1. (Explicação didática: para |r|<1 a soma infinita tem fórmula finita \sum_{n=0}^\infty r^n=\dfrac{1}{1-r}; se |r|\ge 1 os termos não tendem a zero ou somam infinitamente, então não há soma finita.)

Passo 3

Aplicamos o critério da série geométrica com r=\dfrac{x-4}{4}. Convergência ocorre quando
\left|\frac{x-4}{4}\right|<1.
Multiplicando ambos os lados por 4 (que é positivo, não inverte a desigualdade) obtemos
|x-4|<4.
Isso significa que os x que fazem a série convergir estão a menos de 4 unidades do centro 4. O número 4 é, portanto, o raio de convergência.

Passo 4

Resolvendo a desigualdade |x-4|<4 em termos de intervalo, temos
-4<x-4<4.
Somando 4 em todas as partes:
0<x<8.
Assim a convergência estrita (para |r|<1) ocorre em x\in(0,8). Agora precisamos verificar os extremos x=0 e x=8 separadamente.

Passo 5

Verificação em x=8: substituindo na série temos o termo geral
\frac{(8-4)^{n}}{4^{n}}=\frac{4^{n}}{4^{n}}=1.
Como o termo geral não tende a zero (ele é sempre 1), pela condição necessária de convergência a série diverge em x=8.

Passo 6

Verificação em x=0: substituindo na série temos o termo geral
\frac{(0-4)^{n}}{4^{n}}=\frac{(-4)^{n}}{4^{n}}=(-1)^{n}.
Novamente o termo geral (-1)^{n} não tende a zero (oscila entre 1 e -1), logo a série diverge em x=0 pela mesma condição necessária.

Resposta

Raio de convergência: 4
Intervalo de convergência: (0,8)

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