Converge absolutamente, converge condicionalmente, diverge?
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
entre convergente absolutamente, convergente condicionalmente ou divergente. Dados relevantes: o termo geral é
para
. Não há outras informações externas; vamos trabalhar só com essa expressão.
Passo 2
Simplificamos a forma do termo geral para entender o sinal e a magnitude. Repare que
logo o termo geral pode ser escrito como
Aqui
dá o sinal alternado e
é a magnitude (valor absoluto) do termo.
Passo 3
Para decidir sobre convergência absoluta, consideramos a série das magnitudes (valores absolutos):
Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente. Se divergir, ainda resta a possibilidade de convergência condicional (mas vamos verificar isso depois).
Passo 4
Vou usar o teste da razão (teste de d’Alembert) para a série
. O teste da razão diz: calcule
onde
. Se
a série converge, se
a série diverge, se
o teste é inconclusivo. Agora calculamos a razão:
Passo 5
Calculemos explicitamente a razão entre termos consecutivos:
Passo 6
Conhecemos (ou podemos justificar) o limite clássico
onde
é a base do logaritmo natural, aproximadamente
. Portanto
Passo 7
Como
, pelo teste da razão a série das magnitudes
diverge. Logo a série original não converge absolutamente.
Passo 8
Agora verificamos se pode haver convergência condicional. Uma condição necessária para que uma série
convirja é que o termo geral
tenda a zero quando
. Vamos verificar o limite de
. Como
e já vimos que a sequência
com
cresce (pois a razão entre termos consecutivos tende a
), isso implica que
. Em particular
, portanto
.
Passo 9
Como
não tende a zero, a série
não pode convergir (teste de divergência: se
convergisse então
). Portanto a série diverge. Isso descarta também a convergência condicional (pois condicional implicaria convergência, o que não ocorre).
Resposta
Diverge