Converge absolutamente, converge condicionalmente, diverge?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n}}{n!}
entre convergente absolutamente, convergente condicionalmente ou divergente. Dados relevantes: o termo geral é \frac{(-n)^{n}}{n!} para n=1,2,\dots. Não há outras informações externas; vamos trabalhar só com essa expressão.

Passo 2

Simplificamos a forma do termo geral para entender o sinal e a magnitude. Repare que
(-n)^{n}=(-1)^{n}n^{n},
logo o termo geral pode ser escrito como
a_n=\frac{(-n)^{n}}{n!}=(-1)^{n}\frac{n^{n}}{n!}.
Aqui (-1)^{n} dá o sinal alternado e \frac{n^{n}}{n!} é a magnitude (valor absoluto) do termo.

Passo 3

Para decidir sobre convergência absoluta, consideramos a série das magnitudes (valores absolutos):
\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{n!}.
Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente. Se divergir, ainda resta a possibilidade de convergência condicional (mas vamos verificar isso depois).

Passo 4

Vou usar o teste da razão (teste de d’Alembert) para a série \sum \frac{n^{n}}{n!}. O teste da razão diz: calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},
onde b_n=\frac{n^{n}}{n!}. Se L<1 a série converge, se L>1 a série diverge, se L=1 o teste é inconclusivo. Agora calculamos a razão:

Passo 5

Calculemos explicitamente a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\displaystyle\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{n^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)n^{n}} = \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 6

Conhecemos (ou podemos justificar) o limite clássico
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e,
onde e é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,718. Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=e.

Passo 7

Como L=e>1, pelo teste da razão a série das magnitudes
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{n!}
diverge. Logo a série original não converge absolutamente.

Passo 8

Agora verificamos se pode haver convergência condicional. Uma condição necessária para que uma série \sum a_n convirja é que o termo geral a_n tenda a zero quando n\to\infty. Vamos verificar o limite de a_n. Como \left|a_n\right|=\frac{n^{n}}{n!} e já vimos que a sequência \left(b_n\right)_{n} com b_n=\frac{n^{n}}{n!} cresce (pois a razão entre termos consecutivos tende a e>1), isso implica que b_n\to\infty. Em particular \left|a_n\right|\not\to 0, portanto a_n\not\to 0.

Passo 9

Como a_n não tende a zero, a série \sum a_n não pode convergir (teste de divergência: se \sum a_n convergisse então a_n\to 0). Portanto a série diverge. Isso descarta também a convergência condicional (pois condicional implicaria convergência, o que não ocorre).

Resposta

Diverge

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