Falso ou Verdadeiro. Justifique sua resposta.
2.0) Séries de potências convergem pelo menos em um ponto.
2.1) Uma série de potências é uma série de funções.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa e justificar:
  • 2.0) “Séries de potências convergem pelo menos em um ponto.”
  • 2.1) “Uma série de potências é uma série de funções.”
Informações dadas: nenhuma além das próprias sentenças; temos que usar definições e propriedades das séries de potências para justificar.

Passo 2

Definição clara e muito simples de série de potências (vou mastigar cada símbolo): uma série de potências é uma soma da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n.
Aqui:
  • \{a_n\}_{n=0}^\infty é uma sequência de números (os coeficientes);
  • x é a variável (o valor onde a série é avaliada);
  • x_0 é o centro da série (um número fixo);
  • o termo geral é a_n (x-x_0)^n, que depende de x.
Observação didática: cada termo a_n (x-x_0)^n é uma função de x (para cada n temos uma função diferente). Mais sobre isso passo a passo adiante.

Passo 3

Primeira propriedade usada para a justificativa da afirmação 2.0 — avaliar a série no centro: pegue x=x_0 e substitua na fórmula. Para n\ge 1 temos (x-x_0)^n=(x_0-x_0)^n=0^n=0, e para n=0 temos (x-x_0)^0=1. Logo, a série avaliada em x=x_0 fica
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x_0-x_0)^n = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cdot 0 = a_0.

Passo 4

Interpretação do que escrevemos no passo anterior: a sequência das somas parciais ao avaliar em x=x_0 é constante a partir do primeiro termo (soma parcial de ordem zero é a_0; somas parciais de ordem maior continuam iguais a a_0). Uma sequência constante converge (para a_0). Portanto a série converge em x=x_0.
Comentário didático extra (para tirar dúvida comum): alguns autores escrevem a série começando em n=1. Nesse caso, ao avaliar em x=x_0 cada termo é a_n\cdot 0=0 e a soma é 0. Ainda assim converge. Assim, não há exceção: a série sempre converge ao menos no ponto x=x_0.

Passo 5

Agora passo para a afirmação 2.1: o que é uma “série de funções”? Definição simples: é uma soma da forma
\sum_{n=0}^\infty f_n(x),
onde cada f_n é uma função de x. A convergência pode ser entendida ponto a ponto (convergência pontual) ou de outras maneiras (uniforme, etc.), mas o ponto aqui é a definição de série composta por termos que são funções.

Passo 6

Comparando com a forma da série de potências, podemos definir para cada n
f_n(x) := a_n (x-x_0)^n.
Cada f_n é, de fato, uma função de x. Portanto a série de potências é exatamente uma série onde os termos são funções: é uma série de funções. Observação prática: ao fixar um x dentro da região de convergência, a série de funções vira uma série numérica (soma de números), mas a natureza inicial é de série de funções.

Passo 7

Comentário didático adicional (para consolidar): ser uma série de funções não garante convergência para todos os x nem uniformidade. Exemplo simples para visualizar: a série geométrica
\sum_{n=0}^\infty x^n
é uma série de potências (com a_n=1 e x_0=0); ela converge para 1/(1-x) apenas para |x|<1 e, no máximo, em pontos-pérola como x=1 ou x=-1 depende dos coeficientes — mas sempre converge em x=0 (o centro). Isso ilustra tanto 2.0 quanto 2.1 na prática, sem contradizer nada do que foi provado.

Resposta

2.0 Verdadeiro
2.1 Verdadeiro

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