Falso ou Verdadeiro. Justifique sua resposta.
2.0) Séries de potências convergem pelo menos em um ponto.
2.1) Uma série de potências é uma série de funções.
2.0) Séries de potências convergem pelo menos em um ponto.
2.1) Uma série de potências é uma série de funções.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa e justificar:
- 2.0) “Séries de potências convergem pelo menos em um ponto.”
- 2.1) “Uma série de potências é uma série de funções.”
Informações dadas: nenhuma além das próprias sentenças; temos que usar definições e propriedades das séries de potências para justificar.
Passo 2
Definição clara e muito simples de série de potências (vou mastigar cada símbolo): uma série de potências é uma soma da forma
Aqui:
-
é uma sequência de números (os coeficientes); -
é a variável (o valor onde a série é avaliada); -
é o centro da série (um número fixo); - o termo geral é
, que depende de .
Observação didática: cada termo
é uma função de
(para cada
temos uma função diferente). Mais sobre isso passo a passo adiante.
Passo 3
Primeira propriedade usada para a justificativa da afirmação 2.0 — avaliar a série no centro: pegue
e substitua na fórmula. Para
temos
, e para
temos
. Logo, a série avaliada em
fica
Passo 4
Interpretação do que escrevemos no passo anterior: a sequência das somas parciais ao avaliar em
é constante a partir do primeiro termo (soma parcial de ordem zero é
; somas parciais de ordem maior continuam iguais a
). Uma sequência constante converge (para
). Portanto a série converge em
.
Comentário didático extra (para tirar dúvida comum): alguns autores escrevem a série começando em
. Nesse caso, ao avaliar em
cada termo é
e a soma é
. Ainda assim converge. Assim, não há exceção: a série sempre converge ao menos no ponto
.
Passo 5
Agora passo para a afirmação 2.1: o que é uma “série de funções”? Definição simples: é uma soma da forma
onde cada
é uma função de
. A convergência pode ser entendida ponto a ponto (convergência pontual) ou de outras maneiras (uniforme, etc.), mas o ponto aqui é a definição de série composta por termos que são funções.
Passo 6
Comparando com a forma da série de potências, podemos definir para cada
Cada
é, de fato, uma função de
. Portanto a série de potências é exatamente uma série onde os termos são funções: é uma série de funções. Observação prática: ao fixar um
dentro da região de convergência, a série de funções vira uma série numérica (soma de números), mas a natureza inicial é de série de funções.
Passo 7
Comentário didático adicional (para consolidar): ser uma série de funções não garante convergência para todos os
nem uniformidade. Exemplo simples para visualizar: a série geométrica
é uma série de potências (com
e
); ela converge para
apenas para
e, no máximo, em pontos-pérola como
ou
depende dos coeficientes — mas sempre converge em
(o centro). Isso ilustra tanto 2.0 quanto 2.1 na prática, sem contradizer nada do que foi provado.
Resposta
2.0 Verdadeiro
2.1 Verdadeiro
2.1 Verdadeiro