Seja k_{L}(z)=\left\{\begin{array}{cc}z & 0 \leq z \leq L / 2 \\\ L-z & L / 2 \leq z \leq L\end{array}\right. Resolva
\left\{\begin{array}{lcr} u_{x x}+u_{y y}=0, & 0<x<\pi, & (x, y) \in(0,3) \times(0,2), \\\ u(x, 0)=0 & u(x, 2)=0, & x \in(0,3), \\\ u(0, y)=k_{2}(y) & u(3, y)=k_{2}(y) & y \in(0,2), \end{array}\right.

Passo 1

O problema é resolver a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0,\quad (x,y)\in(0,3)\times(0,2),
com condições de contorno
u(x,0)=0,\quad u(x,2)=0,\quad x\in(0,3),
u(0,y)=k_{2}(y),\quad u(3,y)=k_{2}(y),\quad y\in(0,2),
onde
k_{2}(y)= \begin{cases} y,&0\le y\le1,\\\\ 2-y,&1\le y\le2. \end{cases}
O método usado será separação de variáveis em y (série de senos) e depois resolução da ODE resultante em x.

Passo 2

Procuramos
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}(x)\,\sin\!\left(\frac{n\pi y}{2}\right),
de modo que as condições em y=0 e y=2 sejam automaticamente atendidas.
As condições em x=0 e x=3 dão
B_{n}(0)=a_{n},\quad B_{n}(3)=a_{n},
em que
a_{n} =\int_{0}^{2}k_{2}(y)\,\sin\!\left(\frac{n\pi y}{2}\right)\,dy.
Fazendo a integral (meio-intervalo de senos para a função triangular) encontra-se
a_{n} =\frac{8}{n^{2}\pi^{2}}\, \sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right),
o que anula a_{n} para n par e dá coeficientes alternados para n ímpar.

Passo 3

Cada modo B_{n}(x) satisfaz a ODE
B_{n}''(x)-\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)^{2}B_{n}(x)=0,
cuja solução geral pode ser escrita com funções hiperbólicas:
B_{n}(x) = A_{n}\,\operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr) + C_{n}\,\operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{n\pi(3-x)}{2}\Bigr).

Passo 4

Impondo B_{n}(0)=a_{n} e B_{n}(3)=a_{n} tem-se
C_{n}=\frac{a_{n}}{\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)}, \quad A_{n}=\frac{a_{n}}{\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)},
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B_{n}(x) = a_{n}\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) +\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi(3-x)}{2}\bigr)} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)}.

Resposta

A solução completa é
u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{n^{2}\pi^{2}} \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr) \, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) +\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi(\,3-x\,)}{2}\bigr)} {\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{2}\bigr)} \, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi y}{2}\Bigr).

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