É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se cada série infinita é convergente ou divergente. Vamos usar testes clássicos de séries: o teste da p-série, o teste da série geométrica, o teste da razão, comparação direta e o teste da integral.
Passo 2
Para as séries do tipo p-série, isto é,
sabemos que ela converge se e somente se
.
- No item a) temos
, logo converge. - No item b) temos
, logo diverge. - No item e) temos
, logo converge.
As justificativas se baseiam no critério de p-série.
Passo 3
As séries c) e f) são geométricas. Para a série
sabemos que ela converge se
, e o valor da soma é
.
- Em c) temos
e , com , logo converge. - Em f) podemos escrever
, ou seja, , e , logo converge.
Passo 4
No item d) usamos o teste da razão. Se
, então
logo a série converge.
Passo 5
No item g) temos
. Para
valem
, portanto
Como a série harmônica
diverge, pela comparação direta temos que
também diverge.
Passo 6
No item h) usamos o teste da integral com a função
, que é decrescente para
. Avaliando
Como
quando
, a integral diverge e, pelo teste da integral, a série
diverge.
Resposta
a) convergente, b) divergente, c) convergente, d) convergente, e) convergente, f) convergente, g) divergente, h) divergente.