É convergente ou divergente? Justifique.
ll ll a) sn=sumk=1^n 1k^3 & b) sn=sumk=1^n 1raizk c) sn=sumk=0^n 12^k & d) sn=sumk=1^n 1k! e) sn=sumk=1^n 1k^2+1 & f) sn=sumk=1^n e^-k g) sn=sumk=2^n 1ln k (Su>=stão: Verifique que ln k= 2 , cutilize o Exemplo 2) h) sn=sumk=2^n 1k ln k (Su>=stão: Verilique que integral2^+infty 1x ln x d x=+infty,) ãã

Passo 1

O enunciado pede para determinar se cada série infinita é convergente ou divergente. Vamos usar testes clássicos de séries: o teste da p-série, o teste da série geométrica, o teste da razão, comparação direta e o teste da integral.

Passo 2

Para as séries do tipo p-série, isto é,
sumk=1^infty 1k^p,
sabemos que ela converge se e somente se p>1.
  • No item a) temos p=3>1, logo converge.
  • No item b) temos p=1/2<=1, logo diverge.
  • No item e) temos p=2>1, logo converge.
    As justificativas se baseiam no critério de p-série.

Passo 3

As séries c) e f) são geométricas. Para a série
sumk=0^infty ar^k,
sabemos que ela converge se |r|<1, e o valor da soma é a/(1-r).
  • Em c) temos a=1 e r=1/2, com |r|<1, logo converge.
  • Em f) podemos escrever e^-k=(e^-1)^k, ou seja, a=e^-1, r=e^-1 e |r|<1, logo converge.

Passo 4

No item d) usamos o teste da razão. Se ak=1/k!, então
limktoinfty ak+1ak=limktoinfty 1/(k+1)!1/k!=limktoinfty 1k+1=0<1,
logo a série converge.

Passo 5

No item g) temos sumk=2^infty1/ln k. Para k>=2 valem ln k, portanto
1ln k > 1k
Como a série harmônica sum1/k diverge, pela comparação direta temos que sum1/ln k também diverge.

Passo 6

No item h) usamos o teste da integral com a função f(x)=1/(xln x), que é decrescente para x>=2. Avaliando
integral2^t dxxln x = l[ln(ln x)r]2^t = ln(ln t)-ln(ln 2)
Como ln(ln t)to+infty quando tto+infty, a integral diverge e, pelo teste da integral, a série sumk=2^infty1/(kln k) diverge.

Resposta

a) convergente, b) divergente, c) convergente, d) convergente, e) convergente, f) convergente, g) divergente, h) divergente.

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