Determine as derivadas parciais
f(x, y, z)=x e^y-y e^x+z e^-y

Passo 1

A função é f(x,y,z)=x e^y-y e^x+z e^-y. O conteúdo é derivadas parciais, e vamos usar que na derivada parcial em relação a uma variável as demais são constantes e aplicar a regra do produto e a derivada de exponencial.

Passo 2

Para calcular partial f/partial x, tratamos y e z como constantes. Derivando termo a termo: a derivada de x e^y em relação a x é e^y, e a de -y e^x é -y e^x. O termo z e^-y não depende de x e sua derivada é zero. Logo,

Passo 3

Ao derivar em relação a y, as variáveis x e z são constantes. O termo x e^y gera x e^y, o termo -y e^x é constante (pois depende só de x) e deriva zero, e z e^-y gera -z e^-y pela regra da cadeia. Assim,

Passo 4

Para partial f/partial z, apenas o termo z e^-y depende de z. Tratando y constante, a derivada é e^-y. Os demais termos não dependem de z e dão zero.

Resposta

partial fpartial x=e^y-y e^x, partial fpartial y=x e^y-z e^-y, partial fpartial z=e^-y

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