É convergente ou divergente? Justifique.
& a) sumk=0^+infty 3^k1+4^k & e) sumn=1^+infty n^3+42^n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se duas séries infinitas são convergentes ou divergentes usando conhecimento de séries, em particular comparação com séries geométricas e o teste da razão.

Passo 2

Para a série sumk=0^+infty3^k1+4^k: note que para todo k>=0 vale 1+4^k>=4^k, logo
0<=3^k1+4^k<=3^k4^k=(tfrac34)^k
Como sum(tfrac34)^k é uma série geométrica de razão tfrac34<1, ela converge. Pelo teste da comparação, a série dada também converge.

Passo 3

Para a série sumn=1^+inftyn^3+42^n: aplique o teste da razão. Seja an=(n^3+4)/2^n. Então
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty(n+1)^3+42^n+1cdot2^nn^3+4 =12limntoinfty(n+1)^3+4n^3+4 =12<1
Como L<1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Assim, ambas as séries são convergentes.

Resposta

a) convergente; e) convergente.

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