Encontre duas soluçōes em série de potências linearmente independentes, em torno do ponto x=0, para cada equação diferencial
y^prime prime-y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial $ y’’ - y’ = 0 $. O que a questão pede é para encontrarmos duas soluções em série de potências que são linearmente independentes em torno de $ x = 0 $. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares usando séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $:
y(x)
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ y(x) $ para substituir na equação diferencial:
y(x)
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Substituindo $ y’’ $ e $ y’ $ na equação $ y’’ - y’ = 0 $:
y''
Vamos ajustar os índices para que ambas as somas comecem com $ n = 0 $:
y'

Passo 5

Agora, juntamos as somas:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 - (n+1) an+1 ] x^n = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^n $ devem ser zero:
x

Passo 6

Simplificando a relação de recorrência:
an+2 = an+1n+2
Isso nos permite encontrar os coeficientes $ a_n $ em termos de $ a_0 $ e $ a_1 $, que são os termos iniciais da série.

Passo 7

Vamos encontrar as duas soluções independentes:
  1. Primeira solução: Assume-se que $ a_0 = 1 $ e $ a_1 = 0 $.
    • Calculando os coeficientes, temos: a0 = 1
  2. Segunda solução: Assume-se que $ a_0 = 0 $ e $ a_1 = 1 $.
    • Calculando os coeficientes, temos: a1 = 0
    • No entanto, para ter linearmente independentes, a segunda solução pode ser ajustada para $ y_2(x) = x e^{x} $.

Resposta

Duas soluções em série de potências linearmente independentes para a equação diferencial $ y’’ - y’ = 0 $ são:
y'' - y' = 0
y1(x) = e^x

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