Encontre duas soluçōes em série de potências linearmente independentes, em torno do ponto
, para cada equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial $ y’’ - y’ = 0 $. O que a questão pede é para encontrarmos duas soluções em série de potências que são linearmente independentes em torno de $ x = 0 $. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares usando séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ y(x) $ para substituir na equação diferencial:
Passo 4
Substituindo $ y’’ $ e $ y’ $ na equação $ y’’ - y’ = 0 $:
Vamos ajustar os índices para que ambas as somas comecem com $ n = 0 $:
Passo 5
Agora, juntamos as somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^n $ devem ser zero:
Passo 6
Simplificando a relação de recorrência:
Isso nos permite encontrar os coeficientes $ a_n $ em termos de $ a_0 $ e $ a_1 $, que são os termos iniciais da série.
Passo 7
Vamos encontrar as duas soluções independentes:
- Primeira solução: Assume-se que $ a_0 = 1 $ e $ a_1 = 0 $.
- Calculando os coeficientes, temos:
- Calculando os coeficientes, temos:
- Segunda solução: Assume-se que $ a_0 = 0 $ e $ a_1 = 1 $.
- Calculando os coeficientes, temos:
- No entanto, para ter linearmente independentes, a segunda solução pode ser ajustada para $ y_2(x) = x e^{x} $.
- Calculando os coeficientes, temos:
Resposta
Duas soluções em série de potências linearmente independentes para a equação diferencial $ y’’ - y’ = 0 $ são: