Determine x para que a série seja convergente. (Convencionaremos aqui que 0^0= 1.)
a) sumn=1^+infty x^n
b) sumn=1^+infty x^nn!
c) sumn=2^+infty x^nln n

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x que tornam cada série convergente. O conteúdo envolve o teste da série geométrica, o teste da razão (ratio test) e, no caso de fronteira em ©, o teste da série alternada. Vamos aplicar cada um para achar o domínio de convergência.

Passo 2

Para (a) temos a série geométrica sumn=1^infty x^n. Sabemos que uma série geométrica sum x^n converge se, e somente se, |x|<1. Nos casos x=1 e x=-1 a série não converge (em x=1 soma sempre 1; em x=-1 oscila entre -1 e 0). Portanto converge exatamente quando |x|<1.

Passo 3

Na parte (b) a série é sumn=1^infty x^nn!. Aplicando o teste da razão, consideramos
L=limntoinfty|x^n+1/(n+1)!x^n/n!| = limntoinfty |x|n+1 = 0

Passo 4

Como L=0<1 para todo x, a série converge absolutamente para qualquer valor real de x.

Passo 5

Para © a série é sumn=2^infty x^nln n. De novo usamos o teste da razão:
L=limntoinfty|x^n+1/ln(n+1)x^n/ln n| = |x|limntoinftyln nln(n+1) = |x|

Passo 6

Logo há convergência absoluta se |x|<1 e divergência se |x|>1. Restam os casos de fronteira. Para x=1 a série vira sum1/ln n, que diverge (por comparação com integral). Para x=-1 ela é alternada sum(-1)^n/ln n, os termos 1/ln n são decrescentes e tendem a zero, logo converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

Resposta

a) |x|<1; b) todo xin R; c) converge para |x|<1 e também em x=-1 (logo -1<= x<1).

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