Calcule
, sendo
igual a
a)
b)
a)
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular dois limites de sequências quando n → +∞: (a) a sequência bₙ = (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)/n, que envolve a soma harmônica; (b) a sequência bₙ = (2 + 2^{1/2} + 2^{1/3} + … + 2^{1/n})/n, que é a média aritmética de termos 2^{1/k}. Vamos usar teoria de somas assintóticas e o Teorema de Cesàro.
Passo 2
Para a parte (a), note que Hₙ = 1 + 1/2 + … + 1/n cresce como ln
n (mais a constante de Euler γ), isto é Hₙ = ln
n + γ + o(1). Logo
Passo 3
Na parte (b), defina aₖ = 2^{1/k}. Observamos que
Resposta
a) 0
b) 1
b) 1