Calcule lim n +infty bn, sendo bn igual a
a) 1+12+13+ldots+1nn
b) 2+raiz2+raiz[3]2+ldots+raiz[n]2n

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites de sequências quando n → +∞: (a) a sequência bₙ = (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)/n, que envolve a soma harmônica; (b) a sequência bₙ = (2 + 2^{1/2} + 2^{1/3} + … + 2^{1/n})/n, que é a média aritmética de termos 2^{1/k}. Vamos usar teoria de somas assintóticas e o Teorema de Cesàro.

Passo 2

Para a parte (a), note que Hₙ = 1 + 1/2 + … + 1/n cresce como ln
n (mais a constante de Euler γ), isto é Hₙ = ln
n + γ + o(1). Logo
Hnn = ln n + gamma + o(1)n to 0,pois ln n / n to 0 e gamma / n to 0.

Passo 3

Na parte (b), defina aₖ = 2^{1/k}. Observamos que
2^1/k = e^(ln 2)/k = 1 + ln 2k + ol(1kr),de modo que aₖ → 1 quando k → ∞. Pelo Teorema de Cesàro, se aₖ → L então a média aritmética (1/n) ∑_{k=1}^n aₖ também tende a L. Aqui L = 1, logo a média tende a 1.

Resposta

a) 0
b) 1

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