a) Mostre que sumk-1^+infty 1k^2=43 sumk-0^+infty 1(2 k+1)^2
b) Calcule a soma da série sumk-1^+infty(-1)^k+1 1k^2. (Sugestão: Lembre-se de que pi^26=sumk-1^+infty 1k^2.)

Passo 1

O exercício pede duas coisas: mostrar a relação entre a soma da série dos inversos dos quadrados e a soma apenas sobre os índices ímpares, e depois calcular a série alternada sumk=1^infty(-1)^k+11k^2. Vamos usar a decomposição em termos pares e ímpares e o fato de que zeta(2)=sumk=1^infty1k^2=pi^26.

Passo 2

Definimos S=sumk=1^infty1k^2. Separamos em pares e ímpares:
sumk=1^infty1k^2=sumj=1^infty1(2j)^2+sumk=0^infty1(2k+1)^2

Passo 3

O termo dos pares é
sumj=1^infty1(2j)^2=14sumj=1^infty1j^2=S4

Passo 4

Logo a soma sobre ímpares é
sumk=0^infty1(2k+1)^2=S-S4=3S4

Passo 5

Isolando S obtemos
$$
S=\sum_{k=1}{\infty}\frac1{k2}=\frac{4}{3}\sum_{k=0}{\infty}\frac1{(2k+1)2}$$

Passo 6

Para a parte b, seja
$$
A=\sum_{k=1}{\infty}(-1){k+1}\frac1{k^2}$$
Podemos separar em ímpares e pares:
$$
A=\sum_{j=1}{\infty}\frac1{(2j-1)2}-\sum_{j=1}{\infty}\frac1{(2j)2}$$

Passo 7

Usando os resultados: soma ímpares = tfrac34S e soma pares = tfrac14S, com S=zeta(2)=tfracpi^26, temos
$$
A=\frac{3}{4}S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi2}{6}=\frac{\pi2}{12}$$

Resposta

a) Foi mostrado que sumk=1^infty1k^2=43sumk=0^infty1(2k+1)^2.
b) sumk=1^infty(-1)^k+11k^2=pi^212.

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