a) Mostre que
b) Calcule a soma da série
. (Sugestão: Lembre-se de que
.)
b) Calcule a soma da série
Passo 1
O exercício pede duas coisas: mostrar a relação entre a soma da série dos inversos dos quadrados e a soma apenas sobre os índices ímpares, e depois calcular a série alternada
. Vamos usar a decomposição em termos pares e ímpares e o fato de que
.
Passo 2
Definimos
. Separamos em pares e ímpares:
Passo 3
O termo dos pares é
Passo 4
Logo a soma sobre ímpares é
Passo 5
Isolando
obtemos
$$
S=\sum_{k=1}{\infty}\frac1{k2}=\frac{4}{3}\sum_{k=0}{\infty}\frac1{(2k+1)2}$$
Passo 6
Para a parte b, seja
$$
A=\sum_{k=1}{\infty}(-1){k+1}\frac1{k^2}$$
Podemos separar em ímpares e pares:
Podemos separar em ímpares e pares:
$$
A=\sum_{j=1}{\infty}\frac1{(2j-1)2}-\sum_{j=1}{\infty}\frac1{(2j)2}$$
Passo 7
Usando os resultados: soma ímpares =
e soma pares =
, com
, temos
$$
A=\frac{3}{4}S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi2}{6}=\frac{\pi2}{12}$$
Resposta
a) Foi mostrado que
.
b) .
b)