É convergente ou divergente? Justifique.
sumn=1^infty n^2+1n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty n^2+1n^3+1 converge ou diverge. Estamos no tópico de testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da comparação por limite.

Passo 2

Para aplicar o teste, identificamos uma série de referência cuja convergência conhecemos bem: a série harmônica sum 1n, que diverge. Definimos os termos da nossa série e da harmônica: an=n^2+1n^3+1 e bn=1n. Calculamos o limite
limntoinfty anbn = limntoinfty n^2+1n^3+1 cdot n = limntoinfty n^3+nn^3+1 = 1

Passo 3

Como esse limite é um número finito e não nulo, pelo teste da comparação por limite as duas séries têm o mesmo comportamento. Sabemos que a série harmônica sum 1n diverge, logo a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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