1. Um conversor CC-CC boost deve ser projetado para V_{\text {in }}=5 \mathrm{~V}, V_{\text {out }}=12 \mathrm{~V}, e potência elétrica máxima de saída de P_{\text {out }}=40 \mathrm{~W}. A frequência de comutação é selecionada em f_{\mathrm{s}}=400 \mathrm{kHz}. Suponha componentes ideais. Estime o valor da indutância L que deve ser usada para que o conversor permaneça no CCM em um terço da potência elétrica máxima de saída.

Passo 1

Aqui está o que o enunciado dá e o que pede, claramente e sem resolver nada ainda:
  • Dados fornecidos:
    • V_{\text{in}}=5\\ \mathrm{V}.
    • V_{\text{out}}=12\\ \mathrm{V}.
    • Potência elétrica máxima de saída P_{\text{out,max}}=40\\ \mathrm{W}.
    • Frequência de comutação f_{\mathrm{s}}=400\\ \mathrm{kHz}.
    • Componentes ideais (ou seja, rendimento ideal, sem perdas).
  • O que o enunciado pede:
    • Estimar o valor da indutância L de modo que o conversor opere em regime de condução contínua (CCM) quando a potência de saída for igual a um terço da potência máxima: isto é, para P_{\text{out}}=\tfrac{1}{3}P_{\text{out,max}}.
  • Observações importantes (mais tarde usaremos cada uma destas informações):
    • Precisaremos do ciclo de trabalho D do conversor boost ideal.
    • Precisaremos relacionar correntes de entrada/saída e a corrente média no indutor.
    • Precisamos da condição que garante CCM (i.e., corrente mínima no indutor maior que zero), que envolve a amplitude do ripple de corrente na indutância.

Passo 2

Calcular o ciclo de trabalho D do conversor boost ideal e explicar a fórmula usada.
  • Fórmula básica do boost ideal:
    V_{\text{out}}=\frac{V_{\text{in}}}{1-D}.
    Nessa fórmula, D é a fração do período em que o transistor está ligado (tempo ON dividido pelo período). A fórmula vem da igualdade entre tensões médias na bobina em regime periódico e da relação de transformação do boost ideal.
  • Resolver para D:
    D = 1 - \frac{V_{\text{in}}}{V_{\text{out}}}.
  • Substituindo os valores:
    D = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833.
Explicação curta: esse D significa que o transistor fica ligado aproximadamente 58{,}33\% do período de comutação.

Passo 3

Calcular a potência de interesse (um terço da máxima) e as correntes de saída e de entrada correspondentes, explicando as relações.
  • Potência de saída considerada:
    P_{\text{out}}=\frac{1}{3}P_{\text{out,max}}=\frac{1}{3}\cdot 40 = \frac{40}{3}\\ \mathrm{W}.
  • Corrente de saída média:
    I_{\text{out}}=\frac{P_{\text{out}}}{V_{\text{out}}}=\frac{40/3}{12}=\frac{40}{36}=\frac{10}{9}\\ \mathrm{A}\approx 1{,}111\\ \mathrm{A}.
    Explicação: em conversor ideal, potência de saída dividida pela tensão de saída dá a corrente de carga média.
  • Corrente de entrada média (igual à corrente média do indutor em conversor boost ideal):
    I_{\text{in}}=\frac{P_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}=\frac{40/3}{5}=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\\ \mathrm{A}\approx 2{,}6667\\ \mathrm{A}.
    Observação: em conversor ideal sem perdas, P_{\text{in}}=P_{\text{out}}, logo I_{\text{in}}=P_{\text{out}}/V_{\text{in}}. Também é verdade que a corrente média na indutância I_L é igual a I_{\text{in}}.

Passo 4

Escrever a expressão para o ripple de corrente na indutância e explicar de onde vem.
  • Durante o intervalo ON (duração D\cdot T, com T=1/f_{\mathrm{s}}), a tensão na indutância é aproximadamente V_{\text{in}} (pois o interruptor está curto-circuitando e o diodo está reverso), então a variação de corrente na indutância naquele intervalo é: \Delta i_{L,\text{ON}} = \frac{V_{\text{in}}}{L}\cdot (D\cdot T) = \frac{V_{\text{in}}D}{L f_{\mathrm{s}}}.
  • O ripple total pico-a-pico \Delta i_L é esse valor (para forma triangular simétrica do ripple em regime estacionário em boost ideal): \Delta i_L = \frac{V_{\text{in}}D}{L f_{\mathrm{s}}}.
Explicação: a corrente na indutância varia linearmente durante cada intervalo devido a tensão constante aplicada à indutância, daí a regra \Delta i = (V/L)\cdot \Delta t.

Passo 5

Definir a condição de bordo entre CCM e DCM e traduzir isso numa fórmula para L.
  • A corrente instantânea no indutor tem forma triangular com valor médio I_L (igual à corrente de entrada) e amplitude \Delta i_L/2 em torno da média. A corrente mínima no indutor é: i_{L,\min} = I_L - \frac{\Delta i_L}{2}.
  • A condição limite entre CCM e DCM ocorre quando i_{L,\min}=0. Assim, no limite: 0 = I_L - \frac{\Delta i_L}{2}\quad\Rightarrow\quad \Delta i_L = 2 I_L.
  • Substituindo \Delta i_L=\dfrac{V_{\text{in}}D}{L f_{\mathrm{s}}}, obtemos a indutância crítica L_{\text{crit}} (o menor valor que mantém CCM): 2 I_L = \frac{V_{\text{in}}D}{L_{\text{crit}} f_{\mathrm{s}}}\quad\Rightarrow\quad L_{\text{crit}} = \frac{V_{\text{in}}D}{2 I_L f_{\mathrm{s}}}.
Explicação: para garantir CCM devemos escolher L\ge L_{\text{crit}}. Aqui I_L é a corrente média na indutância, que já identificamos como I_{\text{in}}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos na expressão de L_{\text{crit}} e calcular passo a passo (usar frações exatas quando possível).
  • Relembrando valores em forma fracionária: D=\frac{7}{12},\qquad I_L=I_{\text{in}}=\frac{8}{3}\\ \mathrm{A},\qquad f_{\mathrm{s}}=400\\ \mathrm{kHz}=4\cdot 10^{5}\\ \mathrm{Hz}.
  • Numerador de L_{\text{crit}}: V_{\text{in}}D = 5\cdot \frac{7}{12}=\frac{35}{12}\\ \mathrm{V}.
  • Denominador de L_{\text{crit}}: 2 I_L f_{\mathrm{s}} = 2\cdot \frac{8}{3}\cdot 4\cdot 10^{5} = \frac{16}{3}\cdot 4\cdot 10^{5} = \frac{6{,}4\cdot 10^{6}}{3}.
  • Agora a divisão: L_{\text{crit}} = \frac{35/12}{6{,}4\cdot 10^{6}/3} = \frac{35}{12}\cdot\frac{3}{6{,}4\cdot 10^{6}} = \frac{105}{76{,}8\cdot 10^{6}}.
  • Valor numérico: L_{\text{crit}} \approx 1{,}3671875\times 10^{-6}\\ \mathrm{H}.
  • Em unidades mais práticas: L_{\text{crit}} \approx 1{,}37\\ \mu\mathrm{H}.
Explicação: aqui transformei a fração em notação científica e depois em microhenry para ficar claro o tamanho físico do componente.

Passo 7

Interpretação final e dica prática para a prova (o que informar como resposta e por que).
  • Resultado interpretado: para que o conversor boost fique em CCM quando a saída for \tfrac{1}{3} da potência máxima, a indutância deve ser pelo menos o valor crítico calculado. Em problemas de projeto costuma-se escolher um pouco maior que L_{\text{crit}} para margem, por exemplo arredondar para um valor comercial disponível (p.ex. 1{,}5\\ \mu\mathrm{H} ou 2\\ \mu\mathrm{H}, dependendo das perdas e tolerâncias).
  • Na prova: explique os passos (cálculo de D, correntes, fórmula do ripple e condição i_{L,\min}=0) e apresente L_{\text{crit}} com unidades.

Resposta

L \approx 1{,}37\\ \mu\mathrm{H}

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