Em um conversor CC-CC de modo comutado, v_{\text {cont }}(t) / \hat{V}_{\text {tri }}=0,75 com uma frequência de comutação f_{\mathrm{s}}=20 \mathrm{kHz} e V_{\mathrm{d}}=150 \mathrm{~V}. Calcule e trace o gráfico da ondulação na tensão elétrica de saída \bar{v}_{\mathrm{o}}(t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: a razão entre a tensão de controle e a amplitude do dente-de-serra é \dfrac{v_{\text{cont}}(t)}{\hat{V}_{\text{tri}}}=0{,}75.
  • Dado: frequência de comutação f_{\mathrm{s}}=20\\ \mathrm{kHz}.
  • Dado: tensão de entrada do conversor V_{\mathrm{d}}=150\\ \mathrm{V}.
  • Pedido: calcular e traçar o gráfico da ondulação (ripple) na tensão de saída \bar{v}_{o}(t).
Observações importantes (apenas identificando o que temos e o que o enunciado pede — não resolvo ainda): os dados acima determinam o ciclo de trabalho (duty) da modulação por comparação com o dente-de-serra e a freqüência de comutação, e também a tensão de entrada. Para calcular numericamente a amplitude do ripple da tensão de saída normalmente precisamos conhecer parâmetros do filtro de saída (indutor L e capacitor C) e a condição de carga (corrente de saída I_{o} ou resistência de carga). Se esses parâmetros não forem fornecidos, só podemos dar a forma e fórmulas gerais do ripple (ou a expressão paramétrica que depende de L, C, etc.). A seguir eu mostro passo a passo como obter a forma do ripple e a expressão que você usaria na prova — e explico por que precisamos de L e C para um valor numérico.

Passo 2

Interpretação do dado \dfrac{v_{\text{cont}}}{\hat{V}_{\text{tri}}}=0{,}75 — como isso vira duty:
  • Em PWM por comparação com um dente-de-serra, quando a tensão de controle tem relação \dfrac{v_{\text{cont}}}{\hat{V}_{\text{tri}}}=D, o ciclo de trabalho (duty) do sinal de saída é D. Ou seja, aqui temos D=0{,}75.
  • Em um conversor buck ideal (conversor redutor CC-CC muito comum), a tensão média de saída, desprezando o ripple, é simplesmente V_{o} = D\cdot V_{d}. Isso vem da média do sinal de entrada ao filtro quando o indutor está em modo comutado contínuo.
  • Calculando a tensão média (valor DC) com os números fornecidos: V_{o} = D\cdot V_{d} = 0{,}75 \cdot 150 = 112{,}5\\ \mathrm{V}.
  • Então a saída tem uma componente DC 112{,}5\\ \mathrm{V} mais uma ondulação (ripple) periódica de alta freqüência que vamos determinar a forma e expressão.

Passo 3

Descrição física do ripple e o que define sua amplitude/forma:
  • No conversor buck com filtro série (indutor L) e capacitor de saída C, a corrente do indutor i_L(t) é uma rampa triangular por causa da tensão aplicada ao indutor durante os intervalos ON/OFF.
  • A corrente do capacitor é i_C(t)=i_L(t)-i_o, onde i_o é a corrente média de carga. Como i_L(t) é triangular, i_C(t) é uma triangular com média zero (em regime estacionário), e integrando i_C(t) sobre o tempo obtemos a variação da tensão no capacitor: i_C = C\,\dfrac{dv_o}{dt}.
  • Portanto, a amplitude do ripple de tensão depende diretamente da amplitude do ripple da corrente do indutor (que depende de L, D, V_d, f_s) e do valor do capacitor C. Conclusão: para um valor numérico da ondulação precisamos de L e C (e a condição de condução contínua, que aqui assumiremos — explico adiante).

Passo 4

Derivando a rampa (ripple) da corrente do indutor passo a passo (assumindo modo de condução contínua — CCM):
  • Período de comutação: T_{s} = \dfrac{1}{f_{s}} = \dfrac{1}{20000} = 50\\ \mu\mathrm{s}.
  • Durante o intervalo ON (duração D T_{s}), o transistor aplica V_{d} no circuito do indutor e a tensão no indutor é v_{L,\text{on}} = V_{d} - V_{o}.Como em regime estacionário ideal para buck temos V_{o}=D V_{d}, então v_{L,\text{on}} = V_{d} - D V_{d} = V_{d}(1-D).
  • A inclinação da corrente do indutor durante ON é \left(\dfrac{di_L}{dt}\right)_{\text{on}} = \dfrac{v_{L,\text{on}}}{L} = \dfrac{V_{d}(1-D)}{L}.A subida em corrente durante o intervalo ON (Δi subida) vale \Delta i_{\uparrow} = \left(\dfrac{V_{d}(1-D)}{L}\right) \cdot (D T_{s}).
  • Durante o intervalo OFF (duração (1-D)T_{s}), o indutor vê tensão v_{L,\text{off}} = -V_{o} = -D V_{d},produzindo uma inclinação \left(\dfrac{di_L}{dt}\right)_{\text{off}} = \dfrac{-D V_{d}}{L},e a queda em corrente (Δi descida) é \Delta i_{\downarrow} = \left(\dfrac{D V_{d}}{L}\right)\cdot ((1-D)T_{s}).
  • Em regime periódico (CCM) as variações subida e descida são iguais em magnitude: \Delta i_{L} = \Delta i_{\uparrow} = \Delta i_{\downarrow}.Substituindo T_{s}=\dfrac{1}{f_{s}} e simplificando, obtemos a expressão clássica para pico-a-pico da corrente do indutor: \Delta i_{L} = \dfrac{V_{d}\,D(1-D)}{L f_{s}}.Observação: essa é a amplitude pico-a-pico do ripple de corrente no indutor.

Passo 5

Passando da corrente do indutor para a ondulação de tensão no capacitor (e assim na saída):
  • A corrente do capacitor é i_C(t)=i_L(t)-i_o. Como i_L(t) é triangular com amplitude pico-a-pico \Delta i_{L} e valor médio i_o, a corrente do capacitor é uma triangular com média zero e pico de \pm \dfrac{\Delta i_{L}}{2}.
  • A variação de tensão no capacitor quando a corrente é uma triangular pode ser obtida integrando i_C = C\, dv_o/dt. A variação pico-a-pico da tensão do capacitor (que é a ondulação da saída) é \Delta v_{o,pp} \;=\; \dfrac{\text{área da metade positiva da triangular de }i_C}{C}áA metade positiva tem base T_{s}/2 (metade do período, pois uma triangular simétrica cruza a média duas vezes) e altura \Delta i_{L}/2. A área é \text{área} = \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{T_{s}}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{\Delta i_{L}}{2}\right) = \dfrac{T_{s}\,\Delta i_{L}}{8}.áDividindo por C temos: \Delta v_{o,pp} = \dfrac{T_{s}\,\Delta i_{L}}{8 C}.
  • Substituindo T_{s} = \dfrac{1}{f_{s}} e a expressão de \Delta i_{L} do passo anterior: \Delta v_{o,pp} = \dfrac{1}{f_{s}} \cdot \dfrac{1}{8 C} \cdot \dfrac{V_{d}\,D(1-D)}{L f_{s}}.Finalmente, \boxed{\displaystyle \Delta v_{o,pp} \;=\; \dfrac{V_{d}\,D(1-D)}{8\,L\,C\,f_{s}^{2}}.}Essa é a fórmula padrão do ripple pico-a-pico da tensão de saída em um buck em CCM, escrita de forma clara: depende de V_{d}, D, L, C e f_{s}.

Passo 6

Aplicando os números conhecidos e apresentando a expressão numérica paramétrica:
  • Já calculamos D=0{,}75, V_{d}=150\\ \mathrm{V} e f_{s}=20\\ \mathrm{kHz}. O período é T_{s}=50\\ \mu\mathrm{s}. A tensão média de saída V_{o}=112{,}5\\ \mathrm{V}.
  • A ondulação pico-a-pico fica, em função de L e C: \Delta v_{o,pp} = \dfrac{150\cdot 0{,}75\cdot(1-0{,}75)}{8\,L\,C\,(20000)^{2}}.Calculando o fator numérico do numerador: 150\cdot 0{,}75\cdot 0{,}25 = 28{,}125.E o denominador constante em termos de f_s: 8\,(20000)^{2} = 8 \cdot 4\cdot 10^{8} = 3{,}2\cdot 10^{9}.Assim uma forma compacta útil é \boxed{\displaystyle \Delta v_{o,pp} \;=\; \dfrac{28{,}125}{3{,}2\times 10^{9}\, L\,C} \;=\; \dfrac{8{,}7890625\times 10^{-9}}{L\,C}\\ \text{[V],}}onde L está em henry (H) e C em farad (F). Essa expressão mostra explicitamente que, sem L e C, não temos um valor numérico final — mas com ela você calcula direto quando souber L e C.

Passo 7

Gráfico (traçado qualitativo e como desenhar na prova):
  • Forma: a tensão de saída em regime estacionário é a soma de uma componente DC e de um ripple triangular de alta freqüência. Escrevemos \bar{v}_{o}(t) = V_{o} + \tilde{v}_{o}(t),com V_{o}=112{,}5\\ \mathrm{V} e \tilde{v}_{o}(t) sendo uma triangular de período T_{s}=50\\ \mu\mathrm{s} e amplitude pico-a-pico \Delta v_{o,pp} dada na caixa acima.
  • Como traçar: no eixo vertical coloque tensão (em volts) e marque a linha horizontal em 112{,}5\\ \mathrm{V}. Em torno dessa linha desenhe uma onda triangular com pico superior em 112{,}5 + \dfrac{\Delta v_{o,pp}}{2} e pico inferior em 112{,}5 - \dfrac{\Delta v_{o,pp}}{2}. No eixo horizontal marque um intervalo igual a T_{s}=50\\ \mu\mathrm{s} e repita a triangular periodicamente.
  • Exemplo textual (esquemático) de um período, com a tensão central mostrada e a triangular pequena: \text{tempo: } 0 \quad\longrightarrow\quad T_{s} \quad(=50\\ \mu\mathrm{s})
\text{tensão: } \underbrace{\,\frown\!\!\!\!\!\!\_\!\!\!\!\!\!\smile\,}_{\text{triangular de amplitude } \Delta v_{o,pp}\text{ em torno de }112{,}5\\ \mathrm{V}}ã
  • Observação prática: se L e C forem grandes, \Delta v_{o,pp} será muito pequeno e o traçado fica quase uma linha plana em 112{,}5\\ \mathrm{V}. Se L e/ou C forem pequenos, a triangular ficará maior.

Resposta

\bar{v}_{o}(t)=V_{o}+\tilde{v}_{o}(t) com V_{o}=112{,}5\\ \mathrm{V}.
\tilde{v}_{o}(t) é uma ondulação triangular periódica de período T_{s}=50\\ \mu\mathrm{s} e pico-a-pico
\Delta v_{o,pp}=\dfrac{V_{d}\,D(1-D)}{8\,L\,C\,f_{s}^{2}}=\dfrac{28{,}125}{3{,}2\times 10^{9}\,L\,C}=\dfrac{8{,}7890625\times 10^{-9}}{L\,C}\\ \text{[V]},
onde D=0{,}75, f_{s}=20\\ \mathrm{kHz}, V_{d}=150\\ \mathrm{V} e L em henry, C em farad. (Sem L e C não é possível um valor numérico da amplitude do ripple.)

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