Converta 8+\mathrm{j} 6 para forma polar.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo 8+\mathrm{j}6 e pede para convertê-lo para a forma polar.
Informações fornecidas:
  • Parte real: \operatorname{Re}=8.
  • Parte imaginária: \operatorname{Im}=6.
    O que é pedido:
  • Encontrar o módulo r e o argumento \theta e escrever o número na forma polar (ex.: r\angle\theta ou r(\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta) ou re^{\mathrm{j}\theta}).

Passo 2

Lembrete rápido (fórmulas que vou usar).
  • O módulo de um número complexo x+\mathrm{j}y é dado por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x é a parte real e y a parte imaginária.
  • O argumento \theta (quando x>0) pode ser obtido por
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Aqui x=8 e y=6. Vou aplicar essas fórmulas.

Passo 3

Calcular o módulo r:
r=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.
Observação prática: os lados 6,8,10 formam um triângulo retângulo proporcional a 3,4,5, por isso o quadrado dá exatamente 100.

Passo 4

Calcular o argumento \theta. Como x>0 e y>0, o ponto está no primeiro quadrante, logo
\theta=\arctan\!\left(\frac{6}{8}\right)=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right).
Usando o triângulo 3\!:\!4\!:\!5 (escala 2), temos
\cos\theta=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}, \qquad \sin\theta=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.
Esses valores correspondem numericamente a
\theta\approx36{,}87^\circ \qquad\text{ou}\qquad \theta\approx0{,}6435\\ \text{rad}.
(A conversão para radianos usa \theta_{\text{rad}}=\theta_{\text{deg}}\cdot\pi/180.)

Passo 5

Escrever o número nas formas polares pedidas. Com os valores encontrados:
  • Forma r(\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta):
10\bigl(\cos(36{,}87^\circ)+\mathrm{j}\sin(36{,}87^\circ)\bigr).
  • Forma ângulo (engineering):
10\angle36{,}87^\circ.
  • Forma exponencial:
10e^{\mathrm{j}0{,}6435}.
Verificação rápida (sem calculadora): 10\cos(36{,}87^\circ)=10\cdot\frac{4}{5}=8 e 10\sin(36{,}87^\circ)=10\cdot\frac{3}{5}=6, que retornam exatamente 8+\mathrm{j}6. Boa — bate certinho!

Resposta

10\angle36{,}87^\circ
10\bigl(\cos(36{,}87^\circ)+\mathrm{j}\sin(36{,}87^\circ)\bigr)
10e^{\mathrm{j}0{,}6435}

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