Some os fasores: 6 \angle 20^{\circ}+4 \angle 50^{\circ}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede: somar os dois fasores \,6\angle 20^\circ e \,4\angle 50^\circ.
  • Dados: os dois fasores em forma polar: primeiro tem magnitude \,6 e ângulo \,20^\circ; segundo tem magnitude \,4 e ângulo \,50^\circ.

Passo 2

Estratégia (passo a passo do método que usaremos).
  • Para somar fasores é mais simples convertê‑los para a forma retangular (componente real e imaginária), somar as componentes e depois, se quiser, voltar para a forma polar.
  • Fórmulas de conversão (essas são fundamentais; decorando-as já resolve muita questão tipo prova):
    • A forma polar \,R\angle\theta corresponde à forma retangular \,x+jy com
    x = R\cos\theta,\qquad y = R\sin\theta,onde x é a parte real (eixo horizontal) e y é a parte imaginária (eixo vertical).
  • Depois de somar as componentes x e y obtém‑se o resultado em polar por: R_{\text{res}}=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \varphi=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),tomando cuidado com o quadrante de \varphi (aqui ambos x e y ficarão positivos, logo primeiro quadrante).

Passo 3

Converter cada fasor para retangular. Vou calcular as componentes usando valores trigonométricos aproximados (esses valores normalmente se obtêm na calculadora durante a prova).
Para \,6\angle 20^\circ:
x_1 = 6\cos 20^\circ,\qquad y_1 = 6\sin 20^\circ.
Usando \cos 20^\circ\approx 0,9396926 e \sin 20^\circ\approx 0,3420201, temos
x_1 \approx 6\cdot 0,9396926 = 5,6381557,
y_1 \approx 6\cdot 0,3420201 = 2,0521206.
Para \,4\angle 50^\circ:
x_2 = 4\cos 50^\circ,\qquad y_2 = 4\sin 50^\circ.
Usando \cos 50^\circ\approx 0,6427876 e \sin 50^\circ\approx 0,7660444, temos
x_2 \approx 4\cdot 0,6427876 = 2,5711504,
y_2 \approx 4\cdot 0,7660444 = 3,0641776.

Passo 4

Somar as componentes reais e imaginárias separadamente.
x = x_1 + x_2 \approx 5,6381557 + 2,5711504 = 8,2093061,
y = y_1 + y_2 \approx 2,0521206 + 3,0641776 = 5,1162982.
Portanto o resultado em forma retangular é aproximadamente
8,2093061 + j\,5,1162982.

Passo 5

Calcular a magnitude do fasor resultante. Vou mostrar duas maneiras — a direta pela soma das componentes e uma forma rápida usando a lei dos cossenos vetorial (útil para conferir).
Método direto:
R_{\text{res}}=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(8,2093061)^2+(5,1162982)^2}.
Calculando isso obtemos aproximadamente
R_{\text{res}}\approx \sqrt{93,569219}\approx 9,672.
Método alternativo (confirmação; fórmula vetorial):
R_{\text{res}}^2 = 6^2 + 4^2 + 2\cdot 6\cdot 4\cos(50^\circ-20^\circ).
Como \,50^\circ-20^\circ=30^\circ e \cos 30^\circ\approx 0,8660254, então
R_{\text{res}}^2 = 36+16+48\cdot 0,8660254 \approx 93,569219,
o que dá o mesmo R_{\text{res}}\approx 9,672. (Essa fórmula é prática quando soma-se apenas dois vetores.)

Passo 6

Calcular o ângulo do fasor resultante. Como x>0 e y>0, o ângulo está no primeiro quadrante e a fórmula direta funciona:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{5,1162982}{8,2093061}\right)\approx \arctan(0,623307)\approx 31,94^\circ.

Passo 7

Escrever o resultado na forma polar (a forma natural para fasores). Arredondando com precisão razoável:
9,672\angle 31,94^\circ.

Resposta

9,672\angle 31,94^\circ

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