Converta cada equação cartesiana para polar. x y=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente converter a equação cartesiana para coordenadas polares. Isso envolve entender como passar de coordenadas para . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as relações entre e nas coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, lembremos que nas coordenadas polares temos as seguintes relações:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Essas fórmulas nos permitem expressar e em termos de (a distância do ponto à origem) e (o ângulo que o raio faz com o eixo positivo ).

Passo 3

Agora, vamos substituir (r cos(theta)) times (r sin(theta)) = 12 e r^2 cos(theta) sin(theta) = 12 na equação original usando as relações que acabamos de lembrar:
Ou seja:

Passo 4

Podemos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta)
Então, podemos rearranjar a nossa equação:
r^2 times sin(2theta)2 = 12
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
r^2 sin(2theta) = 24

Passo 5

Agora, queremos isolar r^2 = 24sin(2theta) . Vamos fazer isso dividindo ambos os lados por r = raiz24sin(2theta) :
r = raiz24raizsin(2theta) = 2raiz6raizsin(2theta)
Para achar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Ou, simplificando:

Resposta

Em coordenadas polares, a equação r = 2raiz6raizsin(2theta) pode ser representada por:

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