Converta cada equação cartesiana para polar. x^24+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação cartesiana e precisamos converter essa equação para o sistema de coordenadas polares. Isso faz parte do estudo de Mudança de Sistemas de Coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que ligam as coordenadas cartesianas com as coordenadas polares .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como transformar x = r cos theta e y = r sin theta em termos de e . As fórmulas são:
Então, vamos substituir essas expressões na equação original.

Passo 3

Substituindo (r cos theta)^24 + (r sin theta)^2 = 1 e na equação , ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, vamos elevar os termos:
r^2 cos^2 theta4 + r^2 sin^2 theta = 1
Para facilitar, podemos fatorar r^2 ( cos^2 theta4 + sin^2 theta ) = 1 :

Passo 5

Nosso objetivo é isolar r^2 = 1cos^2 theta4 + sin^2 theta . Então, vamos dividir ambos os lados da equação pelo termo que está multiplicando r^2 = 4cos^2 theta + 4 sin^2 theta :
r = raiz 4cos^2 theta + 4 sin^2 theta
Para simplificar ainda mais, multiplicamos o numerador e o denominador por 4:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A equação cartesiana r = raiz 4cos^2 theta + 4 sin^2 theta convertida para coordenadas polares fica:

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