Resolva as integrais triplas:
ll integral0^1 integral0^1 integral0^1(x^2+y^2+z^2) d z d y d x & integral0^1 integral0^3-3 x integral0^3-3 x-y d z d y d x integral0^raiz2 integral0^3 y integralx^2+3 y^2^8-x^2-y^2 d z d x d y & integral0^1 integral0^1-x^2 integral3^4-x^2-y x d z d y d x

Passo 1

Nesse exercício a gente vai calcular quatro integrais triplas usando integração iterada e o Teorema Fundamental do Cálculo. Em cada uma, o plano é integrar em ordem dz, dy, dx (ou dx, dy, dz, conforme o enunciado) reduzindo passo a passo a integral múltipla a integrais simples.

Passo 2

Para I1=integral0^1integral0^1integral0^1(x^2+y^2+z^2),dz,dy,dx: como x^2+y^2+z^2 separa em soma de termos univariáveis, a integral se quebra em três partes idênticas. Por exemplo,
integral0^1integral0^1integral0^1 x^2,dz,dy,dx =integral0^1 x^2l(integral0^1integral0^1dz,dyr)dx =integral0^1 x^2,dx=13
O mesmo vale para y^2 e z^2, então I1=tfrac13+tfrac13+tfrac13=1.

Passo 3

Para I2=integral0^1integral0^3-3xintegral0^3-3x-y dz,dy,dx: primeiro a gente integra em z, obtendo
integral0^3-3x-ydz=3-3x-y
Depois integra em y:
integral0^3-3x(3-3x-y),dy =(3-3x)y-y^22|0^3-3x =(3-3x)^22
E por fim em x:
I2=integral0^19(1-x)^22dx=92integral0^1(1-x)^2dx=92cdot13=32

Passo 4

Para I3=integral0^raiz2integral0^3yintegralx^2+3y^2^8-x^2-y^2 dz,dx,dy: primeiro
integralx^2+3y^2^8-x^2-y^2dz=8-2x^2-4y^2
Depois em x:
integral0^3y(8-2x^2-4y^2)dx=24y-30y^3
E por fim em y:
integral0^raiz2(24y-30y^3)dy =l[12y^2-tfrac304y^4r]0^raiz2 =24-30=-6

Passo 5

Para I4=integral0^1integral0^1-x^2integral3^4-x^2-y x,dz,dy,dx: primeiro em z:
xl((4-x^2-y)-3r)=x(1-x^2-y)
Depois em y:
integral0^1-x^2x(1-x^2-y)dy =x2-x^3+x^52
E por fim em x:
integral0^1l(x2-x^3+x^52r)dx=112

Resposta

As quatro integrais valem, respectivamente, 1, tfrac32, -6 e tfrac112.

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