Mude de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e calcule as integrais duplas:
ll integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2(x^2+y^2) d x d y & integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2(x^2+y^2) d y d x integral0^2 integral0^raiz4-y^2(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses integrais duplos que estão em coordenadas cartesianas e transformá-los para coordenadas polares. Nós vamos precisar entender como mudar de cartesianas para polares e usar as fórmulas de conversão. Além disso, vamos precisar saber calcular áreas em coordenadas polares para integrar as funções x^2 + y^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer a mudança de coordenadas. Em coordenadas polares, temos que:
x = r cos theta e y = r sin theta
E o elemento de área dx , dy se transforma em r , dr , dtheta.
Além disso, a função x^2 + y^2 em coordenadas polares fica:
x^2 + y^2 = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2
Isso simplifica bastante a integral.

Passo 3

Vamos começar resolvendo o primeiro integrale:
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2(x^2+y^2) dx , dy
Esse é o integrale sobre um círculo de raio 1. Em coordenadas polares, os limites para r vão de 0 a 1 e para theta vão de 0 a 2pi.
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 4

Vamos calcular a integral em r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Agora, integramos em theta:
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot 2pi = pi2

Passo 5

Agora, vamos resolver o segundo integrale:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2(x^2+y^2) dy , dx
Esse integrale também representa a área de um círculo, mas com raio a. Vamos novamente mudar para coordenadas polares.

Passo 6

Em coordenadas polares, r vai de 0 a a e theta vai de 0 a 2pi. A função x^2 + y^2 se transforma em r^2, e o elemento de área é r , dr , dtheta.
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^a r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^a r^3 , dr , dtheta

Passo 7

Primeiro, integramos em r:
integral0^a r^3 , dr = [ r^44 ]0^a = a^44
Agora, integramos em theta:
integral0^2pi a^44 , dtheta = a^44 cdot 2pi = pi a^42

Passo 8

Por último, vamos resolver o terceiro integrale:
integral0^2 integral0^raiz4-y^2(x^2+y^2) dx , dy
Esse integrale representa a área de um quarto de círculo com raio 2 no primeiro quadrante. Vamos mudar para coordenadas polares.

Passo 9

Em coordenadas polares, r vai de 0 a 2 e theta vai de 0 a pi2 (90 graus). A função x^2 + y^2 se transforma em r^2, e o elemento de área é r , dr , dtheta.
Então, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^2 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^2 r^3 , dr , dtheta

Passo 10

Primeiro, integramos em r:
integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 164 = 4
Agora, integramos em theta:
integral0^pi2 4 , dtheta = 4 cdot pi2 = 2pi

Resposta

A integral dupla é igual a 2pi.

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