Mude de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e calcule as integrais duplas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses integrais duplos que estão em coordenadas cartesianas e transformá-los para coordenadas polares. Nós vamos precisar entender como mudar de cartesianas para polares e usar as fórmulas de conversão. Além disso, vamos precisar saber calcular áreas em coordenadas polares para integrar as funções
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazer a mudança de coordenadas. Em coordenadas polares, temos que:
E o elemento de área
se transforma em
.
Além disso, a função
em coordenadas polares fica:
Isso simplifica bastante a integral.
Passo 3
Vamos começar resolvendo o primeiro integrale:
Esse é o integrale sobre um círculo de raio 1. Em coordenadas polares, os limites para
vão de 0 a 1 e para
vão de
a
.
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral em
:
Agora, integramos em
:
Passo 5
Agora, vamos resolver o segundo integrale:
Esse integrale também representa a área de um círculo, mas com raio
. Vamos novamente mudar para coordenadas polares.
Passo 6
Em coordenadas polares,
vai de 0 a
e
vai de
a
. A função
se transforma em
, e o elemento de área é
.
Então, a integral fica:
Passo 7
Primeiro, integramos em
:
Agora, integramos em
:
Passo 8
Por último, vamos resolver o terceiro integrale:
Esse integrale representa a área de um quarto de círculo com raio 2 no primeiro quadrante. Vamos mudar para coordenadas polares.
Passo 9
Em coordenadas polares,
vai de 0 a 2 e
vai de
a
(90 graus). A função
se transforma em
, e o elemento de área é
.
Então, a integral fica:
Passo 10
Primeiro, integramos em
:
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral dupla é igual a
.