Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas polares e calcule as integrais duplas:
integral duplaR(x^2+y^2) d y d x, R=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 9, x <= 0, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaRl(x^2+y^2r),dy,dx
sobre a região
R=l(x,y)inR^2mid x^2+y^2<=9,;x<=0,;y>=0r
O conteúdo é troca para coordenadas polares e cálculo de integral em polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta,
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x^2+y^2 = r^2,
e o elemento de área é
dx,dy = r,dr,dtheta
A região R torna-se
0 <= r <= 3, pi2<= theta <= pi,
pois x<=0 implica costheta<=0 e y>=0 implica sintheta>=0.

Passo 3

Montamos a integral em polares:
integral duplaRl(x^2+y^2r),dy,dx = integraltheta=pi2^piintegralr=0^3r^2;l(r,dr,dthetar)

Passo 4

Calculamos a integral interna em r:
integral0^3r^3,dr = r^44|0^3 = 3^44 = 814

Passo 5

Agora a integral em theta:
integralpi2^pi814,dtheta = 814l(pi - tfracpi2r) = 814cdotpi2 = 81pi8

Resposta

81pi8

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