Mude de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e calcule as integrais duplas:
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral-1^1integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2(x^2+y^2),dx,dy
sobre o disco de raio 1 centrado na origem. O conteúdo é transformação para coordenadas polares, onde usamos
;x=rcostheta,;y=rsintheta; e o elemento de área ,dA = dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares a região vira
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi
e o integrando
x^2+y^2 = r^2
Portanto a integral fica
integral duplax^2+y^2<=1(x^2+y^2),dA = integral0^2piintegral0^1r^2,l(r,dr,dthetar) = integral0^2piintegral0^1r^3,dr,dtheta

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em r:
integral0^1r^3,dr = [r^44]0^1 = 14

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^2pi14,dtheta = 14,l[,theta,r]0^2pi = 2pi4 = pi2

Resposta

pi2

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