Use a Propriedade: " Se f(x, y) >= g(x, y) para todo (x, y) em R, então integral duplaD f(x, y) d A >= integral duplaD g(x, y) d A "para estimar o valor da integral integral duplaQ e^-(x^2+y^2)^2) d A, Q é o quarto de círculo com centro na origem e raio 1 / 2 no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a integral dupla
integral duplaQ e^-l(x^2+y^2r)^2,dA,
onde Q é o quarto de círculo de centro na origem, raio tfrac12 e contido no primeiro quadrante. Vamos usar a propriedade de monotonicidade de integrais duplas: se f(x,y)>= g(x,y) em Q, então
integral duplaQf,dA>= integral duplaQg,dA.

Passo 2

Primeiro, identificamos os valores extremos de l(x^2+y^2r)^2 em Q. Como em Q temos
0;<=;x^2+y^2;<=;l(tfrac12r)^2=tfrac14,
segue que
0;<=;l(x^2+y^2r)^2;<=;l(tfrac14r)^2=tfrac116

Passo 3

A função varphi(t)=e^-t é decrescente em t>=0. Logo, para todo (x,y)in Q vale
e^-1/16;<=;e^-l(x^2+y^2r)^2;<=;e^0=1

Passo 4

Aplicando a propriedade de monotonicidade com as constantes
,g(x,y)=e^-1/16 e h(x,y)=1, obtemos
integral duplaQe^-l(x^2+y^2r)^2,dA;>=;integral duplaQe^-1/16,dA =e^-1/16,área(Q), á
e
integral duplaQe^-l(x^2+y^2r)^2,dA;<=;integral duplaQ1,dA =área(Q) á

Passo 5

O conjunto Q é um quarto de círculo de raio tfrac12, então
área(Q) =14pil(tfrac12r)^2 =pi16 á
Substituindo na desigualdade, concluímos que
e^-1/16,pi16 ;<=; integral duplaQe^-l(x^2+y^2r)^2,dA ;<=; pi16

Resposta

e^-1/16,dfracpi16;<=; integral duplaQe^-l(x^2+y^2r)^2,dA;<=;dfracpi16

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