Converta de coordenadas polares para cartesianas:
(-2, \pi / 6)

Passo 1

O enunciado dá a coordenada polar (-2,\pi/6) e pede para convertê-la para coordenadas cartesianas.
Informações fornecidas:
\text{raio } r = -2,\qquad \text{ângulo } \theta = \frac{\pi}{6}.â
Pergunta: encontrar as coordenadas (x,y) no sistema cartesiano correspondentes a essa coordenada polar.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (explicação didática): em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao origem (pode ser negativa) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. As fórmulas de conversão para cartesianas vêm projetando o segmento de comprimento r sobre os eixos:
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta.
Aqui x é a coordenada horizontal e y a vertical. Essas fórmulas funcionam mesmo quando r é negativo — um r<0 significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo \theta (ou seja, na direção \theta+\pi).

Passo 3

Lembrando valores trigonométricos conhecidos (triângulo notável de 30^\circ ou \pi/6):
\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Esses valores vêm do triângulo retângulo com ângulos 30^\circ,60^\circ,90^\circ: os catetos têm razão 1:\sqrt{3} e a hipotenusa 2.

Passo 4

Aplicando as fórmulas com r=-2 e \theta=\frac{\pi}{6}:
x = r\cos\theta = -2\cdot\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3},
y = r\sin\theta = -2\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\cdot\frac{1}{2} = -1.
Mostrei passo a passo a multiplicação e a simplificação (o \,2 cancela com o denominador \,2).

Passo 5

Verificação alternativa (ajuda à intuição): como r é negativo, podemos escrever o mesmo ponto como (2,\theta+\pi) = \big(2,\frac{\pi}{6}+\pi\big) = \big(2,\frac{7\pi}{6}\big). Então
x = 2\cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3},
y = 2\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1.
Resultado idêntico, o que confirma que a conta está consistente.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o ponto cartesiano é (-\sqrt{3},-1). A distância ao origem é
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2,
ou seja, a magnitude é 2 (consistente com |r|=2), e a direção efetiva corresponde a \theta+\pi como discutido — tudo bate.

Resposta

\;(-\sqrt{3},-1)

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