Converta de coordenadas cartesianas retangulares ( x, y, z ) para cilíndricas ( r, \theta, z )
(4,-4 \sqrt{3}, 6)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas (x,y,z)=(4,\,-4\sqrt{3},\,6) para coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Para isso, usamos as definições r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) ajustada conforme o quadrante,
e z permanece o mesmo.

Passo 2

Calcular r pela distância ao eixo z:
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + \bigl(-4\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8.

Passo 3

Determinar \theta. Primeiro o valor de referência:
\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{-4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}.
Isso corresponde a um ângulo de referência \pi/3. Como x>0 e y<0, estamos no quarto quadrante. Logo, \theta = -\tfrac{\pi}{3} ou, em uma representação usual em [0,2\pi), \theta = 2\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{5\pi}{3}.

Passo 4

O valor de z não muda na conversão:
z = 6.

Resposta

(r,\theta,z) = \bigl(8,\tfrac{5\pi}{3},\,6\bigr).
Alternativamente, pode-se usar \theta = -\tfrac{\pi}{3}, ficando (8,\,-\tfrac{\pi}{3},\,6).

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