Converta as coordenadas de retangulares para cilíndricas.
(a) (\sqrt{2},-\sqrt{2}, 1)
(b) (0,1,1)
(c) (-4,4,-7)
(d) (2,-2,-2)

Passo 1

O que o enunciado pede: converter coordenadas de retangulares (cartesianos) (x,y,z) para coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) nos quatro casos dados.
Os pontos fornecidos são:
  • (a) (\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 1)
  • (b) (0, 1, 1)
  • (c) (-4, 4, -7)
  • (d) (2, -2, -2)

Passo 2

Fórmulas básicas e convenções que vamos usar (explicando cada variável):
  • r é a distância da projeção do ponto no plano xy até a origem. Fórmula:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x até o vetor (x,y) no sentido anti-horário. Para determinar \theta corretamente em todos os quadrantes usa-se a função \operatorname{atan2}(y,x), que escolhe o quadrante certo. Vou dar \theta no intervalo
0 \le \theta < 2\pi.
  • z mantém-se igual: z_{\text{cil}}=z_{\text{cart}}.
Observação prática (como usar \operatorname{atan2} sem calculadora): calcule \alpha=\arctan\big(\lvert y/x\rvert\big) (ângulo agudo) e então ajuste pelo quadrante:
  • Quadrante I ( x>0,y\ge0): \theta=\alpha.
  • Quadrante II ( x<0,y>0): \theta=\pi-\alpha.
  • Quadrante III ( x<0,y<0): \theta=\pi+\alpha.
  • Quadrante IV ( x>0,y<0): \theta=2\pi-\alpha.
    Casos especiais: se x=0 e y>0 então \theta=\tfrac{\pi}{2}; se x=0 e y<0 então \theta=\tfrac{3\pi}{2}. Se r=0 o ângulo é indeterminado (qualquer valor serve), mas não é o caso aqui.

Passo 3

Vou resolver cada ponto passo a passo aplicando as fórmulas e a regra de quadrantes.

Passo 4

Caso (a): x=\sqrt{2},\; y=-\sqrt{2},\; z=1.
  • Calcular r:
r=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.
  • Determinar \theta: primeiro \alpha=\arctan\big(\lvert y/x\rvert\big)=\arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}. Aqui x>0 e y<0 (quadrante IV), portanto
\theta=2\pi-\alpha=2\pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{4}.
  • z permanece 1.

Passo 5

Caso (b): x=0,\; y=1,\; z=1.
  • Calcular r:
r=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1.
  • Para x=0 e y>0 aplicamos o caso especial: \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • z permanece 1.

Passo 6

Caso (c): x=-4,\; y=4,\; z=-7.
  • Calcular r:
r=\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
  • Determinar \theta: \alpha=\arctan\big(\lvert y/x\rvert\big)=\arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}. Aqui x<0 e y>0 (quadrante II), então
\theta=\pi-\alpha=\pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}.
  • z permanece -7.

Passo 7

Caso (d): x=2,\; y=-2,\; z=-2.
  • Calcular r:
r=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • Determinar \theta: \alpha=\arctan\big(\lvert y/x\rvert\big)=\arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}. Aqui x>0 e y<0 (quadrante IV), logo
\theta=2\pi-\alpha=2\pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{4}.
  • z permanece -2.

Passo 8

Resumo rápido para decorar: quando |x|=|y| o ângulo de referência é \tfrac{\pi}{4}; aí basta ajustar pelo quadrante (I: \tfrac{\pi}{4}, II: \tfrac{3\pi}{4}, III: \tfrac{5\pi}{4}, IV: \tfrac{7\pi}{4}). Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa estes passos e manda ver!

Resposta

\, (2,\,\tfrac{7\pi}{4},\,1)\n
\, (1,\,\tfrac{\pi}{2},\,1)\n
\, (4\sqrt{2},\,\tfrac{3\pi}{4},\,-7)\n
\, (2\sqrt{2},\,\tfrac{7\pi}{4},\,-2)

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