Converta as coordenadas de cilíndricas para retangulares.
(8,3 \pi / 4,-2)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) = (8,\tfrac{3\pi}{4},-2) e pede para convertê-las para coordenadas retangulares (cartesianas) (x,y,z).
Informações relevantes fornecidas:
  • r = 8 (distância ao eixo z no plano xy);
  • \theta = \tfrac{3\pi}{4} (ângulo medido a partir do eixo x positivo, no plano xy);
  • z = -2 (mesma componente vertical em ambos os sistemas).

Passo 2

Fórmulas de conversão cilíndricas \to retangulares (essas são as fórmulas que sempre se usam):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Explicando cada símbolo:
  • x e y são as coordenadas no plano cartesiano; z é a coordenada vertical (igual nas duas representações);
  • r é a distância radial no plano xy (ou seja, r=\sqrt{x^2+y^2});
  • \theta é o ângulo no plano xy contado desde o eixo x positivo.

Passo 3

Calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=\tfrac{3\pi}{4}. No círculo unitário:
  • \tfrac{3\pi}{4} está no segundo quadrante, com ângulo de referência \tfrac{\pi}{4};
  • para \tfrac{\pi}{4} temos \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2};
  • no segundo quadrante o cosseno é negativo e o seno é positivo. Logo:
\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Calcular x = r\cos\theta usando r=8 e \cos\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
x = 8\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\dfrac{8\sqrt{2}}{2} = -4\sqrt{2}.
Aqui simplifiquei dividindo 8 por 2 para obter 4.

Passo 5

Calcular y = r\sin\theta usando r=8 e \sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}:
y = 8\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}.

Passo 6

A componente z permanece igual na conversão:
z = -2.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular r e \theta a partir de x e y.
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2} =\sqrt{32+32}=\sqrt{64}=8,
logo recupera-se r=8. Quanto ao ângulo, \tan\theta = \dfrac{y}{x}=\dfrac{4\sqrt{2}}{-4\sqrt{2}}=-1; o sinal das componentes ( x<0,y>0) indica segundo quadrante, o que corresponde a \theta=\tfrac{3\pi}{4}. Está consistente.

Resposta

(-4\sqrt{2},\,4\sqrt{2},\,-2)

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