Converta as coordenadas de cilíndricas para retangulares.
(6,5 \pi / 3,7)

Passo 1

O enunciado pede para converter coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares. As informações dadas são o ponto em coordenadas cilíndricas:
(6,\,5\pi/3,\,7).
Isso significa que:
  • r=6 (distância radial ao eixo z),
  • \theta=5\pi/3 (ângulo medido a partir do eixo x),
  • z=7 (altura).

Passo 2

Fórmulas de conversão (essas são as ferramentas que sempre usamos):
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad z = z.
Aqui x e y são as coordenadas no plano xy, r é a distância ao eixo z, e \theta é o ângulo no plano xy. Vou aplicar essas fórmulas ao ponto dado.

Passo 3

Identificar o ângulo \theta de forma prática: \theta=5\pi/3 é o mesmo que
5\pi/3 = 2\pi - \pi/3.
Então o ângulo tem referência \pi/3 (ou 60^\circ) e está no quadrante IV (porque é um pouco menor que 2\pi).

Passo 4

Avaliar seno e cosseno desse ângulo usando a referência \pi/3:
\cos\left(\pi/3\right)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\left(\pi/3\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
No quadrante IV o cosseno é positivo e o seno é negativo. Portanto
\cos\left(5\pi/3\right)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\left(5\pi/3\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Calcular x e y usando r=6:
x = r\cos\theta = 6\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)=3,
y = r\sin\theta = 6\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3\sqrt{3}.
E z permanece
z=7.

Passo 6

Verificação rápida (para ter segurança): a distância radial do ponto no plano xy é
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+(-3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6,
que bate com r=6. O ângulo satisfaz \tan\theta = y/x = -\sqrt{3}, cuja solução principal é -\pi/3, equivalente a 5\pi/3. Tudo consistente.

Resposta

(3,\,-3\sqrt{3},\,7)

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