Converta as coordenadas de retangulares para esféricas.
(a) (1, \sqrt{3},-2)
(b) (1,-1, \sqrt{2})
(c) (0,3 \sqrt{3}, 3)
(d) (-5 \sqrt{3}, 5,0)

Passo 1

O enunciado pede: “Converter as coordenadas retangulares (cartesianas) para coordenadas esféricas” dos quatro pontos dados. Os pontos fornecidos são:
  • (a) (1,\sqrt{3},-2)
  • (b) (1,-1,\sqrt{2})
  • (c) (0,3\sqrt{3},3)
  • (d) (-5\sqrt{3},5,0)
As perguntas implícitas são: para cada ponto, achar os três números das coordenadas esféricas correspondentes.

Passo 2

Vou fixar a convenção de coordenadas esféricas que vou usar (a mais comum em muitos cursos):
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio), com \rho\ge 0.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário. Vou escolher \theta no intervalo [0,2\pi).
  • \varphi é o ângulo polar, medido a partir do eixo z positivo até o raio; tem 0\le\varphi\le\pi.
As fórmulas de conversão (da forma reta (x,y,z) para esférica (\rho,\theta,\varphi)) são:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right)
Explicando cada coisa:
  • Em \rho, x,y,z são as coordenadas cartesianas do ponto; a fórmula vem do teorema de Pitágoras em 3D.
  • A função \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo no plano xy considerando corretamente o quadrante (se x=0 pode dar \theta=\tfrac{\pi}{2} ou \tfrac{3\pi}{2} dependendo do sinal de y). Se preferir, pode achar o ângulo pela razão \tan\theta=y/x e ajustar pelo quadrante.
  • Em \varphi, usamos a relação entre a componente z e a distância radial \rho; \operatorname{arccos} dá um valor entre 0 e \pi, que é o intervalo adequado para \varphi.
Agora aplico essas fórmulas ponto a ponto, com cuidado para identificar o quadrante de \theta.

Passo 3

Calcule \rho:
\rho=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}+(-2)^{2} }=\sqrt{1+3+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 4

Calcule \theta usando \tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}. Como x=1>0 e y=\sqrt{3}>0, o ponto está no primeiro quadrante, então o ângulo cujo tangente é \sqrt{3} e que está no primeiro quadrante é \theta=\dfrac{\pi}{3}. Em notação:
\theta=\operatorname{atan2}(\sqrt{3},1)=\frac{\pi}{3}.

Passo 5

Calcule \varphi por \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right):
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-2}{2\sqrt{2}}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{3\pi}{4}.
(Observação: \operatorname{arccos}(-\tfrac{1}{\sqrt{2}})=135^\circ=\tfrac{3\pi}{4}.)

Passo 6

Portanto para (a) obtemos
(\rho,\theta,\varphi)=\left(2\sqrt{2},\,\frac{\pi}{3},\,\frac{3\pi}{4}\right).

Passo 7

Calcule \rho:
\rho=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1+1+2}=\sqrt{4}=2.

Passo 8

Calcule \theta por \tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{-1}{1}=-1. O ângulo referência com tangente 1 é \tfrac{\pi}{4}. Aqui x=1>0 e y=-1<0 — quarto quadrante — então \theta vale -\tfrac{\pi}{4} ou, na convenção [0,2\pi), \theta=\tfrac{7\pi}{4}. Vou usar a forma em [0,2\pi):
\theta=\operatorname{atan2}(-1,1)=\frac{7\pi}{4}.

Passo 9

Calcule \varphi:
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}.

Passo 10

Portanto para (b) obtemos
(\rho,\theta,\varphi)=\left(2,\,\frac{7\pi}{4},\,\frac{\pi}{4}\right).

Passo 11

Calcule \rho:
\rho=\sqrt{0^{2}+(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=\sqrt{0+27+9}=\sqrt{36}=6.

Passo 12

Aqui x=0 e y=3\sqrt{3}>0. Para pontos com x=0 e y>0 temos \theta=\tfrac{\pi}{2}. Em notação:
\theta=\operatorname{atan2}(3\sqrt{3},0)=\frac{\pi}{2}.

Passo 13

Calcule \varphi:
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{6}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}.

Passo 14

Portanto para (c) obtemos
(\rho,\theta,\varphi)=\left(6,\,\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{3}\right).

Passo 15

Calcule \rho:
\rho=\sqrt{(-5\sqrt{3})^{2}+5^{2}+0^{2}}=\sqrt{75+25+0}=\sqrt{100}=10.

Passo 16

Calcule \theta. A razão é \tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{-5\sqrt{3}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}. O ângulo referência com tangente \dfrac{1}{\sqrt{3}} é \tfrac{\pi}{6}. Como x<0 e y>0, o ponto está no segundo quadrante, logo
\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.
(Equivalente a usar \operatorname{atan2}(5,-5\sqrt{3})=\tfrac{5\pi}{6}.)

Passo 17

Calcule \varphi:
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{0}{10}\right)=\operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2}.

Passo 18

Portanto para (d) obtemos
(\rho,\theta,\varphi)=\left(10,\,\frac{5\pi}{6},\,\frac{\pi}{2}\right).

Resposta

\left(2\sqrt{2},\,\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{3\pi}{4}\right)
\left(2,\,\dfrac{7\pi}{4},\,\dfrac{\pi}{4}\right)
\left(6,\,\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{3}\right)
\left(10,\,\dfrac{5\pi}{6},\,\dfrac{\pi}{2}\right)

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