Converta as coordenadas de retangulares para esféricas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: “Converter as coordenadas retangulares (cartesianas) para coordenadas esféricas” dos quatro pontos dados. Os pontos fornecidos são:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
As perguntas implícitas são: para cada ponto, achar os três números das coordenadas esféricas correspondentes.
Passo 2
Vou fixar a convenção de coordenadas esféricas que vou usar (a mais comum em muitos cursos):
-
é a distância do ponto à origem (raio), com . -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo, no sentido anti-horário. Vou escolher no intervalo . -
é o ângulo polar, medido a partir do eixo positivo até o raio; tem .
As fórmulas de conversão (da forma reta
para esférica
) são:
Explicando cada coisa:
- Em
, são as coordenadas cartesianas do ponto; a fórmula vem do teorema de Pitágoras em 3D. - A função
dá o ângulo no plano considerando corretamente o quadrante (se pode dar ou dependendo do sinal de ). Se preferir, pode achar o ângulo pela razão e ajustar pelo quadrante. - Em
, usamos a relação entre a componente e a distância radial ; dá um valor entre e , que é o intervalo adequado para .
Agora aplico essas fórmulas ponto a ponto, com cuidado para identificar o quadrante de
.
Passo 3
Calcule
:
Passo 4
Calcule
usando
. Como
e
, o ponto está no primeiro quadrante, então o ângulo cujo tangente é
e que está no primeiro quadrante é
. Em notação:
Passo 5
Calcule
por
:
(Observação:
.)
Passo 6
Portanto para (a) obtemos
Passo 7
Calcule
:
Passo 8
Calcule
por
. O ângulo referência com tangente
é
. Aqui
e
— quarto quadrante — então
vale
ou, na convenção
,
. Vou usar a forma em
:
Passo 9
Calcule
:
Passo 10
Portanto para (b) obtemos
Passo 11
Calcule
:
Passo 12
Aqui
e
. Para pontos com
e
temos
. Em notação:
Passo 13
Calcule
:
Passo 14
Portanto para (c) obtemos
Passo 15
Calcule
:
Passo 16
Calcule
. A razão é
. O ângulo referência com tangente
é
. Como
e
, o ponto está no segundo quadrante, logo
(Equivalente a usar
.)
Passo 17
Calcule
:
Passo 18
Portanto para (d) obtemos