Converta as coordenadas esféricas ( \rho, \theta, \varphi ) em cartesianas ( x, y, z ) e cilíndricas ( r, \theta, z )
\left(6, \frac{5 \pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a conversão das coordenadas esféricas \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr)=(6,\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}) para:
  1. Coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).
  2. Coordenadas cartesianas (x,y,z).
    As fórmulas de conversão são
r = \rho\sin\varphi,\quad z = \rho\cos\varphi,
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta.

Passo 2

Calcular r e z.
Sabendo que \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} e \cos\frac{\pi}{3}=\frac12, temos
r = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3},
z = 6\cdot\frac12 = 3.
Logo, as coordenadas cilíndricas são
(r,\theta,z) = \Bigl(3\sqrt{3},\,\tfrac{5\pi}{4},\,3\Bigr).

Passo 3

Calcular x e y.
Como \cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2} e \sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, segue
x = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = -\frac{3\sqrt{6}}{2},
y = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = -\frac{3\sqrt{6}}{2}.
Mantém-se z=3.

Resposta

As coordenadas cilíndricas são
(r,\theta,z) = \Bigl(3\sqrt{3},\,\tfrac{5\pi}{4},\,3\Bigr),
e as coordenadas cartesianas são
(x,y,z) = \Bigl(-\tfrac{3\sqrt{6}}{2},\,-\tfrac{3\sqrt{6}}{2},\,3\Bigr).

Exercícios relacionados