Converta para coordenadas polares antes de calcular as integrais duplas:
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d A; onde R é a região limitada por \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\, dA,
onde R é a região limitada por \\ x^{2}+y^{2}=1.
Informações importantes dadas:
  • A função integranda é e^{x^{2}+y^{2}}.
  • A região R é o disco unitário centrado na origem: todos os pontos (x,y) tais que x^{2}+y^{2}\le 1.
  • A tarefa é converter para coordenadas polares e então calcular a integral.

Passo 2

O que são coordenadas polares e por que usá-las aqui. Em coordenadas polares representamos um ponto do plano por (r,\theta), onde:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta em geral variando em torno de 2\pi. Aqui a região R — o disco de raio 1 centrado na origem — tem uma descrição simples em polares: 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le 2\pi. Isso facilita bastante porque a expressão x^{2}+y^{2} vira simplesmente r^{2}.

Passo 3

Transformação do elemento de área. Quando trocamos (x,y) por (r,\theta), o elemento de área dA se transforma em r\,dr\,d\theta. Vou mostrar de onde vem esse r (o chamado jacobiano):
As derivadas parciais formam a matriz jacobiana
J=\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det J = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta)=r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Portanto dA = |\det J|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta. É por isso que aparece o fator r no integrando.]

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, e usando os limites do disco unitário ( 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi), a integral fica
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\, dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\, dr\, d\theta.
Note que agora a integral é produto de uma integral em r e uma em \theta (a integranda separa em função de r vezes função de \theta, e a dependência em \theta na prática é só no diferencial).

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Para avaliar
\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\, dr
fazemos a substituição clássica para exponenciais de r^{2}: defina u=r^{2}. Então
u=r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{2}.
Os limites em r de 0 a 1 correspondem a u variando de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\, dr = \int_{u=0}^{u=1} e^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\, du.
A integral de e^{u} é e^{u}, então
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\, du = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).

Passo 6

Calcular a integral externa em \theta e combinar resultados. Temos
\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\, dr\right)d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}(e-1)\, d\theta = \frac{1}{2}(e-1)\int_{0}^{2\pi} d\theta.
A integral de d\theta de 0 a 2\pi é 2\pi. Logo
\frac{1}{2}(e-1)\cdot 2\pi = \pi\,(e-1).

Passo 7

Comentário final e checagem rápida. O fator r no elemento de área era essencial; sem ele não seria possível transformar diretamente a integral. O resultado tem forma simples e faz sentido dimensional: é um número múltiplo de \pi. Se quiser, dá para verificar numericamente que \pi(e-1) é aproximadamente \pi(1{,}71828)\approx 5{,}397, que é um valor plausível para a integral sobre o disco unitário.

Resposta

\pi\,(e-1)

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