Converta para coordenadas polares antes de calcular as integrais duplas:
; onde R é a região limitada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada por
.
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
- A função integranda é
. - A região
é o disco unitário centrado na origem: todos os pontos tais que . - A tarefa é converter para coordenadas polares e então calcular a integral.
Passo 2
O que são coordenadas polares e por que usá-las aqui. Em coordenadas polares representamos um ponto do plano por
, onde:
com
e
em geral variando em torno de
. Aqui a região
— o disco de raio
centrado na origem — tem uma descrição simples em polares:
e
. Isso facilita bastante porque a expressão
vira simplesmente
.
Passo 3
Transformação do elemento de área. Quando trocamos
por
, o elemento de área
se transforma em
. Vou mostrar de onde vem esse
(o chamado jacobiano):
As derivadas parciais formam a matriz jacobiana
As derivadas parciais formam a matriz jacobiana
O determinante dessa matriz é
Portanto
. É por isso que aparece o fator
no integrando.]
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares. Substituindo
e
, e usando os limites do disco unitário (
,
), a integral fica
Note que agora a integral é produto de uma integral em
e uma em
(a integranda separa em função de
vezes função de
, e a dependência em
na prática é só no diferencial).
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Para avaliar
fazemos a substituição clássica para exponenciais de
: defina
. Então
Os limites em
de
a
correspondem a
variando de
a
. Assim
A integral de
é
, então
Passo 6
Calcular a integral externa em
e combinar resultados. Temos
A integral de
de
a
é
. Logo
Passo 7
Comentário final e checagem rápida. O fator
no elemento de área era essencial; sem ele não seria possível transformar diretamente a integral. O resultado tem forma simples e faz sentido dimensional: é um número múltiplo de
. Se quiser, dá para verificar numericamente que
é aproximadamente
, que é um valor plausível para a integral sobre o disco unitário.