Converta para coordenadas polares antes de calcular as integrais duplas:
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede que se converta para coordenadas polares antes de calcular. Informações importantes extraídas dos limites:
- O limite externo é
de a . - O limite interno é
de a . - A condição
junto com descreve o quarto de disco (o setor correspondente ao primeiro quadrante) de raio : todos os pontos com e .
Portanto a região de integração é o setor do disco de raio
no primeiro quadrante.
Passo 2
Lembrete prático sobre coordenadas polares (passo-a-passo e intuitivo):
- Em coordenadas polares representamos um ponto por
onde é a distância à origem e é o ângulo medido desde o eixo . - As fórmulas de passagem são
- A combinação
fica bem simples:
- O elemento de área
em polares não é simplesmente : há um fator chamado jacobiano. Geometricamente, um pequeno retângulo no espaço corresponde a uma área aproximada . Assim
Explicação curta do jacobiano: quando
muda em
a posição angular gera um arco de comprimento aproximado
, multiplicando por
obtém-se a área
.
Passo 3
Descrever a região em coordenadas polares (usando os limites que pegamos no Passo 1):
- Como estamos no primeiro quadrante, temos
e , então varia de
- Como a fronteira é o círculo
, temos variando de
Portanto a região corresponde a
e
.
Passo 4
Fazer a mudança de variável diretamente na integral: substituir
e
. A integral fica
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Vamos integrar
Use a substituição
. Então
, ou seja
. Os limites transformam-se: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Comentários didáticos: essa substituição é padrão quando a integranda tem a forma
; transforma um produto em uma integral direta de
.
Passo 6
Agora integrar em
. A integral em
é simples porque o resultado da integral em
é constante em
: