Converta para coordenadas polares antes de calcular as integrais duplas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx,
e pede que se converta para coordenadas polares antes de calcular. Informações importantes extraídas dos limites:
  • O limite externo é x de 0 a 1.
  • O limite interno é y de 0 a \sqrt{1-x^{2}}.
  • A condição 0\le y\le\sqrt{1-x^{2}} junto com 0\le x\le1 descreve o quarto de disco (o setor correspondente ao primeiro quadrante) de raio 1: todos os pontos com x\ge0,\\ y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le1.
Portanto a região de integração é o setor do disco de raio 1 no primeiro quadrante.

Passo 2

Lembrete prático sobre coordenadas polares (passo-a-passo e intuitivo):
  • Em coordenadas polares representamos um ponto por (r,\theta) onde r\ge0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido desde o eixo x.
  • As fórmulas de passagem são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • A combinação x^{2}+y^{2} fica bem simples:
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
  • O elemento de área \,dx\,dy em polares não é simplesmente \,dr\,d\theta: há um fator chamado jacobiano. Geometricamente, um pequeno retângulo dr\times d\theta no espaço (r,\theta) corresponde a uma área aproximada r\,dr\,d\theta. Assim
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação curta do jacobiano: quando \theta muda em d\theta a posição angular gera um arco de comprimento aproximado r\,d\theta, multiplicando por dr obtém-se a área r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Descrever a região em coordenadas polares (usando os limites que pegamos no Passo 1):
  • Como estamos no primeiro quadrante, temos x\ge0 e y\ge0, então \theta varia de
\theta=0\quad\text{até}\quad\theta=\frac{\pi}{2}.é
  • Como a fronteira é o círculo x^{2}+y^{2}=1, temos r variando de
r=0\quad\text{até}\quad r=1.é
Portanto a região corresponde a 0\le r\le1 e 0\le\theta\le\pi/2.

Passo 4

Fazer a mudança de variável diretamente na integral: substituir x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta. A integral fica
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}\cos\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Vamos integrar
\int_{0}^{1} r\cos\bigl(r^{2}\bigr)\,dr.
Use a substituição u=r^{2}. Então du=2r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{du}{2}. Os limites transformam-se: quando r=0 temos u=0; quando r=1 temos u=1. Assim
\int_{0}^{1} r\cos\bigl(r^{2}\bigr)\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\sin(1).
Comentários didáticos: essa substituição é padrão quando a integranda tem a forma r\cdot f(r^{2}); transforma um produto em uma integral direta de f(u).

Passo 6

Agora integrar em \theta. A integral em \theta é simples porque o resultado da integral em r é constante em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{1}{2}\sin(1)\right)\,d\theta = \frac{1}{2}\sin(1)\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{1}{2}\sin(1)\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\sin(1).

Resposta

\dfrac{\pi}{4}\sin(1)

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