Resolva o sistema de inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de inequações, ou seja, determinar o conjunto de pontos
Informações dadas (explicitando tudo que temos):
- A primeira desigualdade é
.
O objetivo é descrever o conjunto de todos os paresque satisfazem ambas as desigualdades ao mesmo tempo.]
Passo 2
Interpretação geométrica e significado das curvas:
- A equação
representa um círculo de centro na origem e raio . Explicando: numa equação , o número é o raio; aqui . - A desigualdade
representa o disco fechado (o interior do círculo mais a própria circunferência): todos os pontos cuja distância à origem é menor ou igual a . - A equação
é uma reta com coeficiente angular e interceptos nos eixos em e . - A desigualdade
representa a semi-plano formado pelos pontos que ficam do lado da reta onde a soma das coordenadas é menor ou igual a .
Passo 3
Determinar onde a reta intersecta o círculo (pontos de fronteira comuns). Para encontrar as interseções, substituímos
(da reta) na equação do círculo:
Agora desenvolvemos e resolvemos a equação passo a passo:
Portanto a igualdade fica
Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando:
As soluções são
Agora obtemos os correspondentes
usando
:
- Para
: , ou seja o ponto . - Para
: , ou seja o ponto .
Passo 4
Identificar qual lado da reta
devemos tomar (isto é, confirmar que o semi-plano
é realmente o lado que intersecta o disco). Um teste simples: verificar um ponto conhecido, por exemplo a origem
.
- Para
: (satisfeita a desigualdade do círculo) e (satisfeita a desigualdade da reta). Logo a origem pertence à interseção.
Como a origem está do ladoe também dentro do disco, concluímos que a região procurada é o disco de raio recortado pelo semi-plano abaixo (ou igual) à reta . Em outras palavras, é o conjunto dos pontos dentro do círculo que ficam no mesmo lado da reta onde está a origem.
Passo 5
Descrever a região solução de forma clara e utilizável na prova:
- A interseção é o conjunto de todos os pontos dentro (ou sobre) o círculo
que também satisfazem . - Geometricamente, é o “segmento circular” (ou “coroa triangular curvada”) obtido ao cortar o disco de raio
pela reta . A fronteira deste conjunto é composta por: - o arco da circunferência
que fica do lado , e - o segmento de reta entre os pontos de interseção
e , onde vale .
- o arco da circunferência
- Exemplos rápidos para intuir a região:
-
pertence à solução (verificação já feita). -
: e , pertence (está sobre a linha limite). -
: não pertence. -
: e pertence (está no disco e no semi-plano).
-
Passo 6
Forma final e prática para usar na prova: a solução pode ser apresentada exatamente como o sistema original, ou como um conjunto em notação de conjuntos. Para ficar bem explícito e pronto para conferência, escrevemos o conjunto solução em forma de gerador: