Resolva o sistema de inequações: \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leqslant 9 \\\ x+y \leqslant 3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de inequações, ou seja, determinar o conjunto de pontos (x,y)\) que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades: \[\begin{cases} x^{2}+y^{2} \leqslant 9,\\[4pt] x+y \leqslant 3. \end{cases}
Informações dadas (explicitando tudo que temos):
  • A primeira desigualdade é \;x^{2}+y^{2}\leqslant 9\;\]. - A segunda desigualdade é \(\;x+y\leqslant 3\;.
    O objetivo é descrever o conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem ambas as desigualdades ao mesmo tempo.]

Passo 2

Interpretação geométrica e significado das curvas:
  • A equação \;x^{2}+y^{2}=9\; representa um círculo de centro na origem e raio 3. Explicando: numa equação \;x^{2}+y^{2}=R^{2}\;, o número R é o raio; aqui R=3.
  • A desigualdade \;x^{2}+y^{2}\leqslant 9\; representa o disco fechado (o interior do círculo mais a própria circunferência): todos os pontos cuja distância à origem é menor ou igual a 3.
  • A equação \;x+y=3\; é uma reta com coeficiente angular -1 e interceptos nos eixos em (3,0) e (0,3).
  • A desigualdade \;x+y\leqslant 3\; representa a semi-plano formado pelos pontos que ficam do lado da reta onde a soma das coordenadas é menor ou igual a 3.

Passo 3

Determinar onde a reta intersecta o círculo (pontos de fronteira comuns). Para encontrar as interseções, substituímos \;y=3-x\; (da reta) na equação do círculo:
x^{2}+(3-x)^{2}=9.
Agora desenvolvemos e resolvemos a equação passo a passo:
x^{2}+(3-x)^{2}=x^{2}+(9-6x+x^{2})=2x^{2}-6x+9.
Portanto a igualdade fica
2x^{2}-6x+9=9.
Subtraindo 9 dos dois lados:
2x^{2}-6x=0.
Fatorando:
2x(x-3)=0.
As soluções são
x=0\quad\text{ou}\quad x=3.
Agora obtemos os correspondentes y usando \;y=3-x\;:
  • Para x=0: y=3-0=3, ou seja o ponto (0,3).
  • Para x=3: y=3-3=0, ou seja o ponto (3,0).

Passo 4

Identificar qual lado da reta \;x+y=3\; devemos tomar (isto é, confirmar que o semi-plano \;x+y\leqslant 3\; é realmente o lado que intersecta o disco). Um teste simples: verificar um ponto conhecido, por exemplo a origem (0,0).
  • Para (0,0): \;0^{2}+0^{2}=0\leqslant 9\; (satisfeita a desigualdade do círculo) e \;0+0=0\leqslant 3\; (satisfeita a desigualdade da reta). Logo a origem pertence à interseção.
    Como a origem está do lado \;x+y\leqslant 3\; e também dentro do disco, concluímos que a região procurada é o disco de raio 3 recortado pelo semi-plano abaixo (ou igual) à reta \;x+y=3\;. Em outras palavras, é o conjunto dos pontos dentro do círculo que ficam no mesmo lado da reta onde está a origem.

Passo 5

Descrever a região solução de forma clara e utilizável na prova:
  • A interseção é o conjunto de todos os pontos dentro (ou sobre) o círculo \;x^{2}+y^{2}\leqslant 9\; que também satisfazem \;x+y\leqslant 3\;.
  • Geometricamente, é o “segmento circular” (ou “coroa triangular curvada”) obtido ao cortar o disco de raio 3 pela reta \;x+y=3\;. A fronteira deste conjunto é composta por:
    • o arco da circunferência \;x^{2}+y^{2}=9\; que fica do lado \;x+y\leqslant 3\;, e
    • o segmento de reta entre os pontos de interseção (3,0) e (0,3), onde vale \;x+y=3\;.
  • Exemplos rápidos para intuir a região:
    • (0,0) pertence à solução (verificação já feita).
    • (2,1): \;2^{2}+1^{2}=5\leqslant 9\; e \;2+1=3\leqslant 3\;, pertence (está sobre a linha limite).
    • (3,3): \;3^{2}+3^{2}=18>9\; não pertence.
    • ( -3,0): \;(-3)^{2}+0^{2}=9\leqslant 9\; e -3+0=-3\leqslant3 pertence (está no disco e no semi-plano).

Passo 6

Forma final e prática para usar na prova: a solução pode ser apresentada exatamente como o sistema original, ou como um conjunto em notação de conjuntos. Para ficar bem explícito e pronto para conferência, escrevemos o conjunto solução em forma de gerador:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leqslant 9,\;x+y\leqslant 3\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leqslant 9,\;x+y\leqslant 3\}

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