Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais pontos a função
é diferenciável. Isso envolve entender de onde a função é suave e sem “quebradas”. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Basicamente, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais naquele ponto e se for contínua ali. Então, nosso objetivo é verificar onde as derivadas parciais de
existem e são contínuas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Para isso, usamos a regra da cadeia.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, precisamos verificar onde essas derivadas parciais existem. Observando as expressões acima, vemos que o denominador
é sempre positivo, já que
e
são não negativos e somados a 1 não podem dar zero. Portanto, não há pontos onde as derivadas não existem por causa do denominador.
Passo 5
Além disso, as funções derivadas são compostas por polinômios no numerador e denominador, que são contínuos em todo o plano
. Como a composição de funções contínuas é contínua, as derivadas parciais de
são contínuas em todo o plano.
Passo 6
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todos os pontos de
, isso implica que a função
é diferenciável em todo o plano.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos do plano
.