Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
d) f(x, y) = ln(x^2 + y^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais pontos a função é diferenciável. Isso envolve entender de onde a função é suave e sem “quebradas”. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Basicamente, uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais naquele ponto e se for contínua ali. Então, nosso objetivo é verificar onde as derivadas parciais de existem e são contínuas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, usamos a regra da cadeia.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, precisamos verificar onde essas derivadas parciais existem. Observando as expressões acima, vemos que o denominador é sempre positivo, já que e são não negativos e somados a 1 não podem dar zero. Portanto, não há pontos onde as derivadas não existem por causa do denominador.

Passo 5

Além disso, as funções derivadas são compostas por polinômios no numerador e denominador, que são contínuos em todo o plano . Como a composição de funções contínuas é contínua, as derivadas parciais de são contínuas em todo o plano.

Passo 6

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em todos os pontos de , isso implica que a função é diferenciável em todo o plano.

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos do plano .

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