num sistema plano autônomo e mostre que a origem é assintoticamente estável se .
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Van der Pol
onde é uma constante, e pede duas coisas: Converter essa EDO de segunda ordem num sistema plano autônomo de primeira ordem. Mostrar que a origem desse sistema é assintoticamente estável quando .
Conteúdo da matéria: teoria de sistemas autônomos de primeira ordem em , pontos de equilíbrio, linearização e critério de Routh–Hurwitz para estabilidade.
Passo 2
Definimos variáveis de estado para reduzir a ordem da equação:
Então
e da equação original
segue
Logo o sistema plano autônomo é
Passo 3
Verificamos que a origem é ponto de equilíbrio, pois substituindo e obtemos e .
Passo 4
Para estudar a estabilidade, linearizamos o sistema em torno da origem. Calculamos a matriz jacobiana
temos a1 = -mu e a0 = 1. Pelo critério de Routh–Hurwitz em ordem 2, a origem é assintoticamente estável se, e somente se,
a1 > 0 e a0 > 0
Como a0=1>0 sempre, a condição reduz-se a
-mu > 0 Long<=ftrightarrow mu < 0
Resposta
O sistema plano autônomo equivalente é
x1' = x2, x2' = -mul(x1^2 -1r)x2 - x1
A linearização em (0,0) leva ao jacobiano l[[0,1],[-1,mu]r] cujo polinômio característico é lambda^2 - mulambda +1=0. Pelo critério de Routh–Hurwitz, a origem é assintoticamente estável se, e somente se, mu<0.