Converta a equação de Van der Pol
y^prime prime+mu(y^2-1) y^prime+y=0, mu uma constante
num sistema plano autônomo e mostre que a origem é assintoticamente estável se mu<0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Van der Pol
y'' + mul(y^2 - 1r)y' + y = 0,
onde mu é uma constante, e pede duas coisas:
bul<=t Converter essa EDO de segunda ordem num sistema plano autônomo de primeira ordem.
bul<=t Mostrar que a origem desse sistema é assintoticamente estável quando mu<0.
Conteúdo da matéria: teoria de sistemas autônomos de primeira ordem em R^2, pontos de equilíbrio, linearização e critério de Routh–Hurwitz para estabilidade.

Passo 2

Definimos variáveis de estado para reduzir a ordem da equação:
x1 = y, x2 = y'
Então
x1' = y' = x2,
e da equação original
y'' = -mul(y^2 - 1r)y' - y
segue
x2' = -mul(x1^2 -1r)x2 ;-; x1
Logo o sistema plano autônomo é
x1' = x2, x2' = -mul(x1^2 -1r)x2 - x1

Passo 3

Verificamos que a origem (x1,x2)=(0,0) é ponto de equilíbrio, pois substituindo x1=0 e x2=0 obtemos x1'=0 e x2'=0.

Passo 4

Para estudar a estabilidade, linearizamos o sistema em torno da origem. Calculamos a matriz jacobiana
J(x1,x2) = partial x1'partial x1 & partial x1'partial x2[6pt] partial x2'partial x1 & partial x2'partial x2 = 0 & 1[6pt] -1 - mu,(2x1x2) & -mu,(x1^2 -1)
No ponto (0,0) isso fica
J(0,0) = 0 & 1 -1 & mu
]

Passo 5

O polinômio característico de J(0,0) é
detl(J(0,0)-lambda Ir) = -lambda & 1 -1 & mu-lambda =lambda^2 - mu,lambda +1 = 0
Escrevendo no formato standard
lambda^2 + a1lambda + a0 = 0,
temos a1 = -mu e a0 = 1. Pelo critério de Routh–Hurwitz em ordem 2, a origem é assintoticamente estável se, e somente se,
a1 > 0 e a0 > 0
Como a0=1>0 sempre, a condição reduz-se a
-mu > 0 Long<=ftrightarrow mu < 0

Resposta

O sistema plano autônomo equivalente é
x1' = x2, x2' = -mul(x1^2 -1r)x2 - x1
A linearização em (0,0) leva ao jacobiano l[[0,1],[-1,mu]r] cujo polinômio característico é lambda^2 - mulambda +1=0. Pelo critério de Routh–Hurwitz, a origem é assintoticamente estável se, e somente se, mu<0.

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