Classifique (estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear A na origem, nos casos seguintes:
(g) (cccc0 & -1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 0)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o ponto de equilíbrio na origem do sistema linear
x' = A,x
com
A = 0 & -1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 0
Para isso vamos usar o critério de estabilidade baseado nas partes reais dos autovalores de A:
  • se existir algum autovalor com Re(lambda)>0, o equilíbrio é instável;
  • se todos satisfazem Re(lambda)<0, é assintoticamente estável;
  • se todos Re(lambda)<=0 e os que são 0 não geram blocos de Jordan não-triviais, é estável;
  • se todos Re(lambda)=0, é indiferente.

Passo 2

Observamos que
A = B & 0[6pt] C & D ,
onde
B = 0 & -1[3pt]1 & 0, D = 0 & -1[3pt]-1 & 0,
e o bloco superior direito é zero. Em consequência,
det(A - lambda I) ;=;det(B-lambda I),det(D-lambda I) ]

Passo 3

Calculamos separadamente os polinômios característicos:
Para B:
det!-lambda & -1[3pt]1 & -lambda = lambda^2 + 1 = 0 Longrightarrow lambda = pm i
Para D:
det!-lambda & -1[3pt]-1 & -lambda = lambda^2 - 1 = 0 Longrightarrow lambda = pm 1 ]

Passo 4

O conjunto de autovalores de A é pm i,,+1,,-1. Como há um autovalor real lambda=+1 com Re(1)>0, pelo critério de estabilidade o equilíbrio na origem é instável.

Resposta

Instável.

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