(4) Converta a integrai \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} \int_{0}^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d x d y em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e calcule o resultado.

Passo 1

O enunciado apresenta a integral tripla
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\int_{z=0}^{x}(x^{2}+y^{2})\,dz\,dx\,dy
Queremos usar coordenadas cilíndricas, em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o Jacobiano é r. Precisaremos descrever a região de integração em (r,\theta,z), reescrever o integrando em função de r e \theta e então calcular o valor numérico.

Passo 2

Analisando a projeção no plano xy:
0 \le y \le 1,\quad 0 \le x \le \sqrt{1-y^{2}}
é o quarto de disco de raio 1, no primeiro quadrante. Em coordenadas cilíndricas isso vira
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

A altura em z vai de 0 até x. Como x = r\cos\theta, temos
0 \le z \le r\cos\theta.
O integrando \,x^{2}+y^{2} = r^{2} e o Jacobiano contribui com um fator r, então o integrando total é r^{2}\cdot r = r^{3}.

Passo 4

A integral em coordenadas cilíndricas fica
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{r\cos\theta} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{r\cos\theta} r^{3}\,dz = r^{3}\bigl[z\bigr]_{0}^{r\cos\theta} = r^{3}\cdot (r\cos\theta) = r^{4}\cos\theta.

Passo 6

Agora integramos em r:
\int_{r=0}^{1} r^{4}\cos\theta\,dr = \cos\theta \int_{0}^{1} r^{4}\,dr = \cos\theta \cdot \frac{1}{5}.

Passo 7

Por fim, integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{5}\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{5}\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{5}\cdot(1-0) = \frac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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