(4) Converta a integrai
em uma integral equivalente em coordenadas cilíndricas e calcule o resultado.
Passo 1
O enunciado apresenta a integral tripla
Queremos usar coordenadas cilíndricas, em que
e o Jacobiano é
. Precisaremos descrever a região de integração em
, reescrever o integrando em função de
e
e então calcular o valor numérico.
Passo 2
Analisando a projeção no plano
:
é o quarto de disco de raio 1, no primeiro quadrante. Em coordenadas cilíndricas isso vira
Passo 3
A altura em
vai de
até
. Como
, temos
O integrando
e o Jacobiano contribui com um fator
, então o integrando total é
.
Passo 4
A integral em coordenadas cilíndricas fica
Passo 5
Integramos primeiro em
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Passo 7
Por fim, integramos em
: