1-(2,0)Dada a integral \int \frac{\ln x}{x+4 x \ln ^{2} x} d x=\frac{1}{8} \ln \left(\ln ^{2} x+\frac{1}{4}\right)+c, mostre que é verdadeira essa igualdade.

Passo 1

Resumindo o que queremos mostrar:
\int \frac{\ln x}{x + 4x\ln^2 x}\,dx = \frac{1}{8}\,\ln\!\Bigl(\ln^2x + \tfrac{1}{4}\Bigr) + C.
O conteúdo usado aqui é a técnica de substituição e, em seguida, a conferência por diferenciação.

Passo 2

Façamos a substituição
u = \ln x, \quad du = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em u:
\frac{\ln x}{x + 4x\ln^2 x} = \frac{\ln x}{x\,(1 + 4\ln^2 x)} = \frac{u}{1 + 4u^2}\,\cdot\frac{dx}{x} = \frac{u}{1 + 4u^2}\,du.

Passo 4

Agora integramos
\int \frac{u}{1 + 4u^2}\,du.
Note que, definindo v = 1 + 4u^2, temos dv = 8u\,du. Então
\int \frac{u}{1 + 4u^2}\,du = \frac{1}{8}\int \frac{dv}{v} = \frac{1}{8}\,\ln(v) + C = \frac{1}{8}\,\ln\bigl(1 + 4u^2\bigr) + C.

Passo 5

Voltando a x ( u = \ln x), obtemos
\frac{1}{8}\,\ln\bigl(1 + 4\ln^2 x\bigr) + C.
Mas
\ln\bigl(1 + 4\ln^2 x\bigr) = \ln\!\bigl(4(\ln^2 x + \tfrac14)\bigr) = \ln 4 + \ln\!\Bigl(\ln^2 x + \tfrac14\Bigr),
e \tfrac18\ln4 é apenas uma constante. Logo
\frac{1}{8}\,\ln\bigl(1 + 4\ln^2 x\bigr) + C = \frac{1}{8}\,\ln\!\Bigl(\ln^2 x + \tfrac14\Bigr) + C',
coincidindo com o resultado dado.

Resposta

A igualdade é verdadeira, pois ao diferenciar
\displaystyle \frac{1}{8}\ln\!\bigl(\ln^2x+\tfrac14\bigr)
obtemos exatamente
\displaystyle \frac{\ln x}{x + 4x\ln^2 x}.

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