Converta os números complexos a seguir para a forma polar, e represente-os graficamente.
1-j

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo z = 1 - j e pede para convertê-lo para a forma polar, ou seja, encontrar o módulo |z| e o argumento \arg(z), além de representá-lo no plano de Argand. Para isso, vamos usar as fórmulas
|z| = \sqrt{x^2 + y^2},
\arg(z) = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
onde x é a parte real de z e y é a parte imaginária.

Passo 2

Identificamos x = 1 e y = -1. Logo, o módulo é
|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Passo 3

Para o argumento, como x>0 e y<0, z está no quarto quadrante. Calculamos
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{-1}{1}\bigr) = -\tfrac{\pi}{4}.
Podemos também expressar esse ângulo como \theta = 2\pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{7\pi}{4}.

Passo 4

Na forma polar, escrevemos
z = |z|\bigl[\cos(\theta) + j\sin(\theta)\bigr] = \sqrt{2}\bigl[\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) + j\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigr].

Passo 5

Representação gráfica no plano de Argand:
Im
|
+1 | • z (1,–1)
| /
| /
0 -±-------/-------- Re
| /
| /
–1 |–––––•––––––––––––
101
O ponto z está em (1,\,-1), a uma distância \sqrt{2} da origem e forma um ângulo de -\tfrac{\pi}{4} (ou 315^\circ) com o eixo real positivo.

Resposta

z = \sqrt{2}\bigl[\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) + j\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\bigr].

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