Determine as transformadas de Fourier das seguintes funçōes:
G(\omega)=\frac{10 j \omega}{(-j \omega+2)(j \omega+3)}

Passo 1

O enunciado dá a função de frequência
G(\omega)=\frac{10\,j\omega}{(-j\omega+2)(j\omega+3)}
e pede sua transformada inversa de Fourier, isto é, encontrar g(t) tal que
g(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}G(\omega).
Para isso vamos:
  1. Substituir s=j\omega e fazer decomposição em frações parciais.
  2. Usar as transformadas conhecidas de exponenciais causais e anti-causais.

Passo 2

Defina s=j\omega\). Então \[G(\omega) =\frac{10\,s}{(2 - s)(s+3)} =-\frac{10\,s}{(s-2)(s+3)}.
Fazendo a fração parcial
-\frac{10\,s}{(s-2)(s+3)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+3},
temos
-10\,s = A(s+3)+B(s-2)=(A+B)\,s+(3A-2B).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B = -10,\\\\ 3A-2B=0, \end{cases}
resolve-se A=-4\] e \(B=-6. Logo
G(\omega) =-\frac{10\,s}{(s-2)(s+3)} =-\frac{4}{s-2}-\frac{6}{s+3} =-\frac{4}{j\omega-2}-\frac{6}{j\omega+3}.

Passo 3

Agora usamos pares de transformada:
  1. Para \Re(a)<0,
\mathcal{F}\{e^{a t}u(t)\} =\frac{1}{j\omega - a}.
  1. Para \Re(a)>0,
\mathcal{F}\{-e^{a t}u(-t)\} =\frac{1}{j\omega - a}.
No nosso caso a=2>0 e a=-3<0. Então
\mathcal{F}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{j\omega-2}\Bigr\} =-e^{2t}u(-t), \quad \mathcal{F}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{j\omega+3}\Bigr\} =e^{-3t}u(t).

Passo 4

Aplicando linearidade a
G(\omega) =-4\frac{1}{j\omega-2}-6\frac{1}{j\omega+3}
obtemos
g(t) =-4\Bigl[-e^{2t}u(-t)\Bigr] -6\Bigl[e^{-3t}u(t)\Bigr] =4\,e^{2t}u(-t)\;-\;6\,e^{-3t}u(t).

Resposta

g(t)=4\,e^{2t}u(-t)\;-\;6\,e^{-3t}u(t).

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