Determine as transformadas de Fourier das seguintes funçōes:
H(\omega)=\frac{60}{-\omega^{2}+j 40 \omega+1300}

Passo 1

O enunciado fornece a função de frequência
H(\omega)=\frac{60}{-\omega^{2}+j\,40\,\omega+1300}
e pede a transformada de Fourier inversa, isto é, o impulso resposta h(t). Vamos usar pares conhecidos de transformada e frações parciais para decompor H(\omega) em dois termos cuja inversa já conhecemos.

Passo 2

Fazemos a troca s=j\omega. Note que
-\omega^{2}+j\,40\,\omega+1300 =-\bigl(\omega^{2}-j\,40\,\omega-1300\bigr) =-\bigl(-s^{2}+40\,s-1300\bigr) =-(s^{2}+40\,s-1300).
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H(\omega) =\frac{60}{-\bigl(s^{2}+40\,s-1300\bigr)} =-\frac{60}{s^{2}+40\,s-1300} \quad\text{com }s=j\omega.

Passo 3

Fatoramos o denominador em s:
s^{2}+40\,s-1300=(s-25)(s+65).
Procuramos constantes A e B tais que
-\frac{60}{(s-25)(s+65)} =\frac{A}{s-25}+\frac{B}{s+65}.
Multiplicando ambos os lados por (s-25)(s+65) e igualando coeficientes, obtemos
-60 = A(s+65)+B(s-25).
Para s=25 vem -60=A\,(90)\Rightarrow A=-\tfrac{2}{3}.
Para s=-65 vem -60=B\,(-90)\Rightarrow B=\tfrac{2}{3}.
Portanto
H(\omega) =\frac{-2/3}{j\omega-25} \;+\;\frac{2/3}{j\omega+65}.

Passo 4

Usamos os pares de transformada inversa:
  1. Para \displaystyle\frac{1}{j\omega+ a} com \Real(a)>0 temos
\mathcal F^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{j\omega+ a}\bigr\} =e^{-a t}\,u(t).
  1. Para \displaystyle\frac{1}{j\omega- a} com a>0 temos
\mathcal F^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{j\omega- a}\bigr\} =e^{a t}\,u(-t).
Aplicando a escalações encontradas em H(\omega):
\mathcal F^{-1}\bigl\{\tfrac{-2/3}{j\omega-25}\bigr\} =-\tfrac{2}{3}\,e^{25\,t}\,u(-t),
\mathcal F^{-1}\bigl\{\tfrac{2/3}{j\omega+65}\bigr\} =\tfrac{2}{3}\,e^{-65\,t}\,u(t).

Resposta

h(t) =-\tfrac{2}{3}\,e^{25\,t}\,u(-t) \;+\;\tfrac{2}{3}\,e^{-65\,t}\,u(t).

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