Converta os números da forma retangular para polar
-1,5+j 2

Passo 1

O enunciado dá o número complexo -1,5 + j\,2 e pede a sua forma polar.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o parte real é } x = -1,5,\qquad \text{a parte imaginária é } y = 2.éáé
O que precisamos encontrar: o módulo r e o argumento \theta tais que o número se escreva em forma polar como r(\cos\theta + j\sin\theta) ou r\angle\theta (ou ainda r e^{j\theta}). Vou calcular r e \theta passo a passo e explicar cada fórmula.

Passo 2

Cálculo do módulo r. A fórmula para o módulo (distância ao origem) de um número complexo x + j y é
r = \sqrt{x^2 + y^2},
onde x é a parte real e y a parte imaginária. Substituindo x=-1,5 e y=2:
(-1,5)^2 = 2,25,\qquad 2^2 = 4,
r = \sqrt{2,25 + 4} = \sqrt{6,25} = 2,5.
Portanto o módulo é r = 2,5.

Passo 3

Cálculo do argumento \theta. A relação trigonométrica básica é
\tan\theta = \frac{y}{x}.
Mas atenção: a função \arctan sozinha devolve um ângulo principal entre -90^\circ e 90^\circ; precisamos ajustar o resultado ao quadrante correto considerando os sinais de x e y. Aqui x=-1,5 (negativo) e y=2 (positivo), então o ponto está no segundo quadrante (QII), onde \theta está entre 90^\circ e 180^\circ.
Primeiro calculemos o valor absoluto da tangente para obter o ângulo de referência:
\left|\frac{y}{x}\right| = \frac{2}{1,5} = \frac{4}{3}.
O ângulo de referência \alpha = \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right) tem valor aproximado
\alpha \approx 53,1301024^\circ.
Como estamos no segundo quadrante, o argumento \theta é
\theta = 180^\circ - \alpha \approx 180^\circ - 53,1301024^\circ = 126,8698976^\circ.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar \theta \approx 126,87^\circ.
Uma forma alternativa e elegante em radianos é usar
\theta = \pi - \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right) \approx 2,2142974\\ \text{(radianos)}.
Observação didática feliz: note que (-1,5,2) é proporcional a (-3,4) (multiplicando por 0,5), ou seja, temos um triângulo 3–4–5. Por isso \cos\theta = -\tfrac{3}{5} = -0,6 e \sin\theta = \tfrac{4}{5} = 0,8; multiplicando por r=2,5 recuperamos -1,5 e 2.

Passo 4

Escrevendo o número em formas polares/eulerianas e verificando rapidamente:
Forma trigonométrica:
-1,5 + j\,2 = 2,5\big(\cos(126,8698976^\circ) + j\sin(126,8698976^\circ)\big).
Forma do argumento em graus (notação de ângulo):
-1,5 + j\,2 = 2,5\angle 126,8698976^\circ \approx 2,5\angle 126,87^\circ.
Forma exponencial (radianos):
-1,5 + j\,2 = 2,5\,e^{j\,2,2142974} \approx 2,5\,e^{j\,2,2143}.

Resposta

2,5\angle 126,87^\circ
2,5\,e^{j\,2,2143}

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