Converta os números da forma retangular para polar
-1,5+j 2
Passo 1
O enunciado dá o número complexo -1,5 + j\,2 e pede a sua forma polar.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o parte real é } x = -1,5,\qquad \text{a parte imaginária é } y = 2.
O que precisamos encontrar: o módulo r e o argumento \theta tais que o número se escreva em forma polar como r(\cos\theta + j\sin\theta) ou r\angle\theta (ou ainda r e^{j\theta}). Vou calcular r e \theta passo a passo e explicar cada fórmula.
Passo 2
Cálculo do módulo r. A fórmula para o módulo (distância ao origem) de um número complexo x + j y é
r = \sqrt{x^2 + y^2},
onde x é a parte real e y a parte imaginária. Substituindo x=-1,5 e y=2:
(-1,5)^2 = 2,25,\qquad 2^2 = 4,
r = \sqrt{2,25 + 4} = \sqrt{6,25} = 2,5.
Portanto o módulo é r = 2,5.
Passo 3
Cálculo do argumento \theta. A relação trigonométrica básica é
\tan\theta = \frac{y}{x}.
Mas atenção: a função \arctan sozinha devolve um ângulo principal entre -90^\circ e 90^\circ; precisamos ajustar o resultado ao quadrante correto considerando os sinais de x e y. Aqui x=-1,5 (negativo) e y=2 (positivo), então o ponto está no segundo quadrante (QII), onde \theta está entre 90^\circ e 180^\circ.
Primeiro calculemos o valor absoluto da tangente para obter o ângulo de referência:
Observação didática feliz: note que (-1,5,2) é proporcional a (-3,4) (multiplicando por 0,5), ou seja, temos um triângulo 3–4–5. Por isso \cos\theta = -\tfrac{3}{5} = -0,6 e \sin\theta = \tfrac{4}{5} = 0,8; multiplicando por r=2,5 recuperamos -1,5 e 2.
Passo 4
Escrevendo o número em formas polares/eulerianas e verificando rapidamente:
Forma trigonométrica: