Converta o ponto (-2,-2,2) das coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter o ponto (-2,-2,2) das coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. Isso envolve entender como transformar as posições de um ponto no espaço usando duas formas de coordenadas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto é definido por três valores:
  • rho: a distância do ponto até a origem (0,0,0).
  • theta: o ângulo no plano xy, medindo a partir do eixo x positivo.
  • phi: o ângulo entre o vetor que liga a origem ao ponto e o eixo z positivo.
Para converter de cartesianas para esféricas, usamos as seguintes fórmulas:
rho = raizx^2 + y^2 + z^2
theta = arctan(yx)
phi = arccos(zrho)

Passo 3

Vamos calcular rho primeiro. Substituindo os valores de x, y e z:
rho = raiz(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3

Passo 4

Agora, calculamos theta. Como x e y são negativos, sabemos que o ponto está no terceiro quadrante do plano xy. Então:
theta = arctan(-2-2) = arctan(1) = pi4
Mas como estamos no terceiro quadrante, adicionamos pi:
theta = pi4 + pi = 5pi4

Passo 5

Por último, calculamos phi:
phi = arccos(22raiz3) = arccos(1raiz3) approx 54,7356^circ
Convertendo para radianos:
phi approx 0,9553 radianos

Resposta

As coordenadas esféricas do ponto (-2,-2,2) são aproximadamente rho = 2raiz3, theta = 5pi4 radianos e phi approx 0,9553 radianos.

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