Converta o ponto ( 5, pi4, pi6 ) das coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto representado em coordenadas esféricas como (5, pi4, pi6). Nosso objetivo é converter esse ponto para as coordenadas cartesianas (x, y, z). Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas.

Passo 2

As coordenadas esféricas são dadas por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x (ângulo azimutal),
  • phi é o ângulo a partir do eixo z (ângulo polar).
As fórmulas para converter para coordenadas cartesianas são:
x = rho cdot sin(phi) cdot cos(theta) y = rho cdot sin(phi) cdot sin(theta) z = rho cdot cos(phi)

Passo 3

Vamos substituir os valores dados na fórmula. Aqui, temos:
  • rho = 5,
  • theta = pi4,
  • phi = pi6.

Passo 4

Calculando x:
x = 5 cdot sin(pi6) cdot cos(pi4)
Sabemos que sin(pi6) = 12 e cos(pi4) = raiz22, então:
x = 5 cdot 12 cdot raiz22 = 5raiz24

Passo 5

Calculando y:
y = 5 cdot sin(pi6) cdot sin(pi4)
Sabendo que sin(pi6) = 12 e sin(pi4) = raiz22, temos:
y = 5 cdot 12 cdot raiz22 = 5raiz24

Passo 6

Calculando z:
z = 5 cdot cos(pi6)
Sabemos que cos(pi6) = raiz32, então:
z = 5 cdot raiz32 = 5raiz32

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são:
(x, y, z) = ( 5raiz24, 5raiz24, 5raiz32 )

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