Determine as coordenadas cartesianas do ponto cujo formato cilíndrico é (
, 10).
Passo 1
O enunciado pede para converter um ponto dado em coordenadas cilíndricas $r,\theta,z$ para coordenadas cartesianas $x,y,z$. O ponto é $8,\tfrac{5\pi}{4},10$, e o conteúdo envolve a conversão de coordenadas cilíndricas para cartesianas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, usamos as fórmulas
$
A coordenada $(r,\theta,z)$ se transforma em $x,y,z$ usando essas expressões, e mantemos $(z)$ igual.
A coordenada $(r,\theta,z)$ se transforma em $x,y,z$ usando essas expressões, e mantemos $(z)$ igual.
Passo 3
Aplicando os valores $r=8$ e $\theta=\tfrac{5\pi}{4}$:
$
Como $\cos(5\pi/4) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin(5\pi/4) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}$, segue:
$
Como $\cos(5\pi/4) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin(5\pi/4) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}$, segue:
$
Passo 4
A coordenada $z$ permanece a mesma do sistema cilíndrico, portanto $z = 10$.
Resposta
(-4\sqrt{2}, -4\sqrt{2}, 10)