Converta o ponto ( 4, pi6, 7 ) das coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para converter o ponto (4, pi6, 7) das coordenadas cilíndricas para as coordenadas cartesianas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre sistemas de coordenadas. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que relacionam as coordenadas cilíndricas (r, theta, z) com as cartesianas (x, y, z).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as fórmulas para converter coordenadas cilíndricas em cartesianas:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)
z = z
Aqui, r é a distância do ponto até o eixo z, theta é o ângulo em relação ao eixo x, e z permanece o mesmo nas duas coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas fórmulas aos valores que temos. Nosso ponto em coordenadas cilíndricas é (4, pi6, 7). Vamos substituir esses valores nas equações:
x = 4 cdot cos(pi6)
y = 4 cdot sin(pi6)
z = 7
Isso vai nos dar as coordenadas cartesianas correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada componente:
  1. Calculando x:
cos(pi6) = raiz32
Então:
x = 4 cdot raiz32 = 2raiz3
  1. Calculando y:
sin(pi6) = 12
Então:
y = 4 cdot 12 = 2
  1. O valor de z permanece o mesmo:
z = 7

Resposta

Portanto, o ponto em coordenadas cartesianas é (2raiz3, 2, 7).

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